MIT 18.01 · Problem Set 5
Problem Set 5：面积与体积
温度冷却模型、 Fresnel 积分 \(\int\cos(t^2)dt\) 的图像分析、以及一个由不等式 \(\frac{z^2}{2}
类型：Problem Set 5（Part I + Part II）
截止：2006-10-27 13:55
覆盖：Lecture 21, 22（Part I 含 Lecture 19–20）
学习目标
- 用分离变量解指数增长/冷却模型，用定积分表示「冷却度日数 (cooling degree days)」。
- 分析无法用初等函数表达的积分 \(\int\cos(t^2)dt\)（Fresnel 积分），用 FTC 判断极值、拐点、奇偶性。
- 熟练运用柱壳法（shells）与圆盘法（disks）计算旋转体体积。
- 通过换元把反常积分与 Fresnel 积分相互转化。
前置知识
结构说明
- Part I（20 分）：FTC、面积、圆盘/柱壳的配套练习。
- Part II（30 分 + 5 额外）：3 道大题——温度模型、Fresnel 积分、不等式区域体积。
主题梳理与示例
1. 温度模型与冷却度日数（Part II/1）
Boston 温度满足 \(y'(t)=y(t)/100\)，初值 \(y(0)=65\)°F。分离变量：
\[\frac{dy}{y}=\frac{dt}{100}\quad\Longrightarrow\quad \ln y=\frac{t}{100}+C\]
由 \(y(0)=65\) 得 \(y(t)=65e^{t/100}\)。连续平均值定义：\(\frac{1}{b-a}\int_a^b y\,dt\)。冷却度日数 = 每日平均温度减去 65 的总和，用面积表示为：
\[\text{CDD}=\int_0^{50}y(t)\,dt-65\cdot 50=\int_0^{50}65e^{t/100}\,dt-3250\]
第 (c) 小题（额外学分）要求用黎曼和直接算这个积分，与 PS4 的 \(e^x\) 黎曼和做法类似，再次凸显 FTC 的威力。
2. Fresnel 积分 \(\displaystyle f(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt\)（Part II/2）
这是无法用初等函数表达的积分。关键问题：
- 奇偶性：\(\cos(t^2)\) 是偶函数，所以 \(f(x)\) 是奇函数。
- 临界点：由 FTC2，\(f'(x)=\cos(x^2)\)，零点在 \(x^2=\pi/2+k\pi\)，即 \(x=\pm\sqrt{\pi/2},\,\pm\sqrt{3\pi/2},\dots\)。
- 极值/拐点：\(f''(x)=-2x\sin(x^2)\)，符号变化给出拐点位置。
- 估值：\(f(0.1)\approx\int_0^{0.1}(1-t^2/2+t^4/24-\cdots)\,dt\approx 0.1-0.001/6\)。
第 (e) 小题用换元把 \(f\) 与标准 Fresnel 积分 \(g(x)=\int_0^x\cos(\frac{\pi}{2}u^2)\,du\) 以及反常积分 \(\int_0^x\frac{\cos v}{\sqrt{v}}\,dv\) 联系起来：
\[f(x)=c_1\,g(c_2x),\qquad f(x)=c\,h(x^2)\]
Fresnel 积分是「积分存在但原函数非初等」的典型例子，在光学（衍射）中有重要应用。
3. 不等式区域体积（Part II/3）
区域 \(x>0,y>0,z>0\)，满足 \(\frac{z^2}{2}0\)、\(y>0\)、\(\frac{z^2}{2}
\[A(z)=\frac12 z^2-\frac12\left(\frac{z^2}{2}\right)^2\quad\text{（需确认边界交点）}\]
体积 \(V=\int_0^2 A(z)\,dz\)（\(z\) 的范围由 \(x+yz^2/2\) 的相容性决定）。
常见坑
- 冷却度日数符号：是「平均温度 - 65」的总和，因此应由温度曲线下的积分减去 (65\cdot 50)。
- Fresnel 积分奇偶性：被积函数偶 → 积分奇，不要搞反。
- 体积方法选择：绕 \(y\) 轴旋转时，若函数是 \(y=f(x)\)，通常柱壳（\(dx\)）更方便；绕 \(x\) 轴则圆盘（\(dy\)）。
- 反常积分收敛：\(\int_0^1\frac{\cos v}{\sqrt{v}}\,dv\) 在 0 处被积函数无界，但积分收敛（比较 \(1/\sqrt{v}\)）。
知识检查
问题 1：满足 \(y'=y/100\)、\(y(0)=65\) 的解是？
问题 2：\(f(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt\) 的第一个正临界点是？
问题 3：\(f(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt\) 的奇偶性是？
自测小结
指数模型
\(y'=ky\) → \(y=y_0e^{kt}\)，冷却度日数用面积差表示。
Fresnel 积分
非初等原函数，用 FTC 分析极值/拐点/奇偶。
体积方法
圆盘 vs. 柱壳：由旋转轴与函数形式决定。
反常积分
\(\int\frac{\cos v}{\sqrt{v}}\,dv\) 在 0 无界但收敛。
完整题目清单
共 8 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 截止时间：2006 年 10 月 27 日（周五）下午 1:55。
- 第一部分（20 分）：完成每一次课所列的教材习题。
- 第二部分（30 分 + 5 分附加分）：尝试独立求解每道题的每一部分。如与他人合作，仍须独立书写解答。查阅以往学期的资料属于违规行为。
- 第 0 题（3 分）：列出你曾咨询或合作的所有人姓名，以及你使用的资源；如无，请填「无」或「未咨询」。
覆盖范围
- 微积分第一基本定理
- 积分的性质
- 微积分第二基本定理
- ln x 的定义
- 曲线间的面积
- 截面法体积
- 圆盘法与壳法体积
- 菲涅尔积分
- 微分方程
- 函数的平均值
- 冷却度日
- 黎曼和
- 积分换元法
题目 I.1
第 19 课作业：第一基本定理与积分性质
微积分第一基本定理 · 积分的性质
站内等价练习可离线作答
以下为一组关于微积分第一基本定理与积分性质的站内等价练习。
- （等价练习 A）设 \(f(x) = \int_{0}^{x} (3t^{2} + 2t)\,dt\)。利用微积分第一基本定理求 \(f'(x)\)，并计算 \(f(1)\)。
- （等价练习 B）设 \(g(x) = \int_{0}^{x} \sin(t^{2})\,dt\)。求 \(g'(x)\) 以及 \(g'(\sqrt{\pi})\) 的值。
- （等价练习 C）计算定积分 \(\int_{0}^{1} (3x^{2} + 2x)\,dx\)，并求函数 \(h(x) = 3x^{2} + 2x\) 在区间 \([0,2]\) 上的平均值。
- （等价练习 D）利用换元法计算 \(\int_{1}^{2} 2x\,e^{x^{2}}\,dx\)。
公式与已知条件
- 第一基本定理：若 \(f\) 连续，则 \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)。
- 函数在 \([a,b]\) 上的平均值：\(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)。
- 定积分的线性性质：\(\int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_{a}^{b} f + \beta\int_{a}^{b} g\)。
解题入口对练习 A、B 直接使用第一基本定理；对练习 C 先用幂函数积分公式再用平均值定义；对练习 D 令 \(u = x^{2}\)。
完成后检查
- 练习 A：用幂函数积分直接求 \(f(x)\) 再求导，与定理结果对照。
- 练习 D：代换后核对微分关系 \(du = 2x\,dx\) 与积分上下限。
- 练习 C：检查平均值是否落在 \(h\) 于 \([0,2]\) 上的最小值与最大值之间。
原教材习题的完整题面未包含在来源 PDF 中，已依据第 19 课主题（第一基本定理与积分性质）设计站内等价练习替代。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 1
题目 I.2
第 20 课作业：第二基本定理与 ln x 的定义
微积分第二基本定理 · ln x 的定义
站内等价练习可离线作答
以下为一组关于微积分第二基本定理与 ln x 定义的站内等价练习。
- （等价练习 A）设 \(f(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt\)（\(x > 0\)）。利用第二基本定理求 \(f'(x)\)，并说明 \(f(x)\) 为何恰好是自然对数 \(\ln x\)。
- （等价练习 B）计算 \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx\) 与 \(\int_{1}^{e^{2}} \frac{2}{x}\,dx\)。
- （等价练习 C）利用第二基本定理求 \(\frac{d}{dx}\ln(x^{2} + 1)\)，并求函数 \(\ln(x^{2} + 1)\) 在区间 \([0, e-1]\) 上的平均值。
- （等价练习 D）设 \(F(x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt\)。求 \(F'(x)\) 与 \(F''(0)\)。
公式与已知条件
- \(\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt\)（\(x > 0\)）。
- 第二基本定理：若 \(f\) 连续，则 \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)。
- \(\frac{d}{dx}\ln(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}\)。
- 函数在 \([a,b]\) 上的平均值：\(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)。
解题入口练习 A 用第二基本定理并对照 \(\ln x\) 的积分定义；练习 C 使用链式法则与复合函数求导。
完成后检查
- 练习 B：利用 \(\ln e = 1\)、\(\ln e^{2} = 2\) 核对结果。
- 练习 C：检查平均值是否介于 \(\ln(x^{2} + 1)\) 在 \([0, e-1]\) 上的最小值与最大值之间。
原教材习题的完整题面未包含在来源 PDF 中，已依据第 20 课主题（第二基本定理与 ln x 定义）设计站内等价练习替代。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 1
题目 I.3
第 21 课作业：曲线间的面积与截面法体积
曲线间的面积 · 截面法体积
站内等价练习可离线作答
以下为一组关于曲线间面积与截面法体积的站内等价练习。
- （等价练习 A）求由曲线 \(y = x^{2}\) 与直线 \(y = 2x\) 所围成区域的面积。
- （等价练习 B）求由曲线 \(y = x^{3}\)、\(y = 0\) 与 \(x = 1\) 所围成区域绕 \(x\) 轴旋转所得旋转体的体积。
- （等价练习 C）求由曲线 \(y = \sqrt{x}\)、\(y = 0\) 与 \(x = 4\) 所围成区域绕 \(y\) 轴旋转所得旋转体的体积（分别用壳法与圆盘法两种方法计算，并比较结果）。
公式与已知条件
- 曲线间面积：\(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x))\,dx\)（\(f \ge g\)）。
- 圆盘法：\(V = \int_{a}^{b} \pi\,R(x)^{2}\,dx\)。
- 壳法：\(V = \int_{c}^{d} 2\pi\cdot\text{(半径)}\cdot\text{(高)}\,dy\)。
解题入口先画草图确定上下、左右边界与旋转半径；练习 C 分别列式后用两种方法求值。
完成后检查
- 练习 A：检查两曲线交点与上下关系是否判断正确。
- 练习 C：两种方法所得体积应相等，可作为自检。
原教材习题的完整题面未包含在来源 PDF 中，已依据第 21 课主题（曲线间面积与截面法体积）设计站内等价练习替代。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 1
题目 I.4
第 22 课作业：圆盘法与壳法体积
圆盘法与壳法体积
官方题面翻译可离线作答
本次课未布置新习题；请开始做习题集 6（Problem Set 6）。
- 开始做习题集 6
解题入口回顾教材中圆盘法与壳法的典型例题，并结合习题集 6 的题目进行练习。
来源 PDF 中该部分未包含新习题，仅作阅读与过渡说明，已忠实翻译。
来源：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 1
题目 0
合作与资源声明
学术诚信
官方题面翻译可离线作答
请列出你曾咨询或合作的所有人姓名，以及你使用的资源；如无，请填「无」或「未咨询」。（详细说明见习题集 1）。本题计 3 分。
解题入口如实填写即可；若独立完成且未使用额外资源，直接填写「无」。
原题面完整且已忠实翻译。
来源：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 1
题目 1
温度模型与冷却度日
微积分第一基本定理 · 微分方程 · 函数的平均值 · 曲线间的面积 · 黎曼和
官方题面翻译可离线作答
假设去年夏天第 0 天开始时，波士顿的温度为 \(y(0) = 65\,°\mathrm{F}\)，在随后的 50 天内，温度按规律 \(y'(t) = \frac{y(t)}{100}\) 上升，其中时间 \(t\) 以天为单位。
- （3 分）求 \(y\) 的表达式。在第 3 天到第 4 天（即 \(3 \le t \le 4\)）上画出温度图，标注正确的天数，并填充出表示这两天各自平均温度的区域。
- （3 分）冷却度日数定义为该期间每一天平均温度与 \(65\,°\mathrm{F}\) 之差的累加和。在整段 50 天上画出 \(y\) 的另一张图，并填充出表示总度日数的区域。将这个总面积写成 \(65\cdot 50\) 与一个定积分之差，并利用微积分基本定理计算该定积分。（也可将整个量表述为两条曲线之间的面积。）
- （+5 分附加分）通过计算下黎曼和并取极限，直接计算 (b) 中的定积分。可参照习题集 4 第 5 题的过程，但采用不同的比例系数。
公式与已知条件
- \(y(0) = 65\,°\mathrm{F}\)。
- \(y'(t) = \frac{y(t)}{100}\)。
- 函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的连续平均值：\(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)；此处 \(b-a = 1\)，故平均值等于积分。
- 冷却度日 = 对每一天求和 \((\text{平均温度} - 65)\)。
解题入口求解关于 \(y\) 的微分方程；利用微积分基本定理计算定积分；或将其表述为两条曲线之间的面积。
完成后检查
- 验证所求公式满足 \(y(0) = 65\)。
- 验证所求公式满足 \(y'(t) = \frac{y(t)}{100}\)。
- 利用基本定理核对定积分的计算。
原题面完整，已忠实翻译。题中图形要求已通过坐标与区域描述明确，可独立完成绘图。
来源：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 1-2
题目 2
菲涅尔积分
菲涅尔积分 · 临界点 · 局部极值 · 拐点 · 换元法 · 奇偶函数 · 反常积分
官方题面翻译可离线作答
考虑函数 \(f(x) = \int_{0}^{x} \cos(t^{2})\,dt\)。它无法用标准初等函数表示，称为菲涅尔积分（Fresnel integral），与之相应的还有正弦型菲涅尔积分。
- （2 分）画出 \(\cos(t^{2})\) 的草图，标出第一个正零点与第一个负零点。曲线在 \(t = 0\) 处表现如何？该函数是偶函数还是奇函数？
- （2 分）列出 \(f(x)\) 在整个范围 \(-\infty < x < \infty\) 内的所有临界点。哪些是局部极大值点，哪些是局部极小值点？
- （4 分）在区间 \(-2 \le x \le 2\) 上画出 \(f\) 的图像，并标注临界点与拐点。（图像应定性正确，各标注点处的函数值可估算。）
- （2 分）将 \(f(0.1)\) 估计到小数点后六位。
- （6 分）菲涅尔积分有时采用不同的变量缩放。(i) 设 \(g(x) = \int_{0}^{x} \cos\bigl(\frac{\pi}{2}u^{2}\bigr)\,du\)。作换元，证明 \(f(x) = c_{1}\,g(c_{2}\,x)\)，其中 \(c_{1}\)、\(c_{2}\) 为常数。为何选择因子 \(\frac{\pi}{2}\)？(ii) 设 \(h(x) = \int_{0}^{x} \frac{\cos v}{\sqrt{v}}\,dv\)（反常积分；\(\frac{1}{\sqrt{v}}\) 在 \(v = 0\) 处无界）。作另一换元，证明当 \(x > 0\) 时 \(f(x) = c\,h(x^{2})\)，其中 \(c\) 为常数。(iii) 设 \(k(x) = \sqrt{x}\int_{0}^{1} \cos(xt^{2})\,dt\)，\(x > 0\)。利用换元 \(z = xt^{2}\) 及 (ii) 找出函数 \(k\) 与 \(f\) 之间的关系。
公式与已知条件
- \(f(x) = \int_{0}^{x} \cos(t^{2})\,dt\)。
- \(g(x) = \int_{0}^{x} \cos\bigl(\frac{\pi}{2}u^{2}\bigr)\,du\)。
- \(h(x) = \int_{0}^{x} \frac{\cos v}{\sqrt{v}}\,dv\)（反常积分；\(\frac{1}{\sqrt{v}}\) 在 \(v = 0\) 处无界）。
- \(k(x) = \sqrt{x}\int_{0}^{1} \cos(xt^{2})\,dt\)，\(x > 0\)。
- \(h\) 连续且 \(h(0) = 0\)，但图像在 \(x = 0\) 处的斜率为无穷大。
解题入口利用第二基本定理求 \(f'(x)\)。对 (e) 在积分中施行换元；(iii) 中使用 \(z = xt^{2}\) 并结合 (ii)。
完成后检查
- 验证 \(\cos(t^{2})\) 为偶函数。
- 验证临界点满足 \(f'(x) = \cos(x^{2}) = 0\)。
- 核对每一部分换元的代数推导。
原题面完整，已忠实翻译。题中要求的草图已通过函数性质、零点与关键点坐标描述明确，可独立完成绘图。
来源：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 2
题目 3
三维空间中区域的体积
截面法体积 · 曲线间的面积 · 水平截面
依据本地资料重建可离线作答
- （2 分）（等价练习）求曲面 \(z = 1 - (x + y)\) 与坐标平面所围成的四面体的体积，其中底面区域由 \(x > 0\)、\(y > 0\)、\(0 < x + y < 1\) 确定。
- （3 分）求三维空间中由 \(x > 0\)、\(y > 0\)、\(z > 0\) 且 \(\frac{z^{2}}{2} < x + y < z\) 所确定的区域的体积。提示：先求水平截面的面积。
公式与已知条件
- 等价练习 (a)：区域 \(x > 0\)、\(y > 0\)、\(0 < x + y < 1\)，顶面 \(z = 1 - (x + y)\)。
- 区域 (b)：\(x > 0\)、\(y > 0\)、\(z > 0\)，且 \(\frac{z^{2}}{2} < x + y < z\)。
- 截面法体积：\(V = \int \text{截面面积}(z)\,dz\)。
解题入口先求水平截面的面积，再对 \(z\) 积分。
完成后检查
- 验证 (b) 中 \(z\) 的取值范围是否合理（由 \(\frac{z^{2}}{2} < z\) 得 \(0 < z < 2\)）。
- 通过积分截面面积核对体积计算。
3(a) 原教材题 7.3/22 的完整题面未包含在来源 PDF 中，已依据截面法体积主题重建为站内等价练习；3(b) 题面完整，已忠实翻译。
来源：study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf · 2
来源与改编说明
- 第一部分各题的完整教材题面未包含在来源 PDF 中。已依据相应课次主题设计站内等价练习替代。
- 教材习题 7.3/22（第 3 题 a 部分）的完整题面未包含在来源 PDF 中，已重建为站内等价练习。
参考资料与资源
- 原文：
study_materials/11be301cf5dc7040bb15079265463dd6_ps5.pdf
- 相关讲义：第 21 课 · 第 22 课