MIT 18.01 · Problem Set 6
Problem Set 6：功、平均值与数值积分
围绕 Lecture 22–25：圆盘/柱壳体积、交流电 RMS、概率模型（含反常积分 \(\int e^{-at}dt\)）、以及 Simpson 法则的证明与 Fresnel 积分数值近似。注意本作业在周四（退伍军人节后的 11 月 9 日）截止，比平时早一天。
类型：Problem Set 6（Part I + Part II）
截止：2006-11-09 12:55（周四）
覆盖：Lecture 23, 24, 25（Part I 含 Lecture 22）
学习目标
- 用圆盘/柱壳法计算旋转体体积，并能根据函数形式选择合适方法。
- 计算交流电压的 RMS（均方根）：\(\displaystyle V_{\text{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T C^2\sin^2(120\pi t)\,dt}\)。
- 用反常积分 \(\int_0^\infty e^{-at}dt\) 建立放射性衰变的概率模型，计算半衰期。
- 证明 Simpson 法则：\(\displaystyle\int_{x_0}^{x_2}f\,dx\approx\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2)\)。
前置知识
结构说明
- Part I（22 分）：体积、功/平均值/概率、数值积分、三角换元的配套练习。
- Part II（30 分）：5 道综合题——体积、RMS、概率、Simpson 法则证明、Fresnel 积分数值近似。
Part I 中 Lecture 25 的三角换元/直接换元部分在 Exam 3 后完成，其余部分应在考前做完以备考。
主题梳理与示例
2. 交流电 RMS（Part II/2）
电压 \(V(t)=C\sin(120\pi t)\)，周期 \(T=1/60\) 秒。均方根：
\[V_{\text{RMS}}^2=\frac{1}{T}\int_0^T C^2\sin^2(120\pi t)\,dt=\frac{C^2}{T}\cdot\frac{T}{2}=\frac{C^2}{2}\]
用了 \(\sin^2\) 在一个周期内的平均值为 \(1/2\)。所以 \(V_{\text{RMS}}=C/\sqrt{2}\approx 0.707C\)。家庭用电标称 120V 就是 RMS 值，峰值约为 \(\pm 170\)V。
3. 放射性衰变概率（Part II/3）
「整体」反常积分：
\[W=\int_0^\infty e^{-at}\,dt=\lim_{N\to\infty}\frac{1-e^{-aN}}{a}=\frac1a\]
衰变发生在 \([0,T]\) 的概率为：
\[P([0,T])=\frac{1}{W}\int_0^T e^{-at}\,dt=\frac{1-e^{-aT}}{1}=1-e^{-aT}\]
半衰期 \(T_{1/2}\) 满足 \(P=1/2\)：\(1-e^{-aT_{1/2}}=1/2\)，解得 \(T_{1/2}=\frac{\ln 2}{a}\)。若 \(T_{1/2}=1\) 秒，则 \(a=\ln 2\)。
这里把「概率 = 部分/整体」与反常积分结合，是 18.01 把微积分应用于概率的标准范例。
4. Simpson 法则的证明（Part II/4）
取区间 \([x_0,x_2]\)，中点 \(x_1=(x_0+x_2)/2\)，半长 \(h=(x_2-x_0)/2\)。由对称性设 \(x_0=-h\)、\(x_1=0\)、\(x_2=h\)。设过 \((x_i,y_i)\) 的抛物线 \(y=Ax^2+Bx+C\)：
- 由 \(x=\pm h\) 数据相减消去，可得 \(A\)；由 \(x=0\) 得 \(C=y_1\)。
- 积分 \(\displaystyle\int_{-h}^{h}(Ax^2+Bx+C)\,dx=\frac{2Ah^3}{3}+2Ch\)。
- 由 \(y_0=Ah^2-Bh+C\)、\(y_2=Ah^2+Bh+C\)，相加消去 \(B\)：\(y_0+y_2=2Ah^2+2C\)。
- 整理得面积 \(=\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2)\)。
5. Fresnel 积分的数值近似（Part II/5）
用 Simpson 法则（\(n=4\) 与 \(n=8\)）估算 \(\int_0^{\pi/2}\cos(t^2)\,dt\)。精确值（5 位小数）为 1.22505。Simpson 法则对三次以下多项式精确，这里被积函数不是多项式，但 \(n=8\) 时误差已经很小。
常见坑
- RMS 与峰值混淆：RMS = 峰值/\(\sqrt{2}\)，不是峰值的一半。
- 反常积分忘记取极限：\(\int_0^\infty e^{-at}dt\) 必须写成 \(\lim_{N\to\infty}\int_0^N\)。
- Simpson 法则系数记错：是 \(h/3\) 乘 \((y_0+4y_1+y_2)\)，中点系数是 4 不是 2。
- 半衰期公式：\(T_{1/2}=\ln 2/a\)，不是 \(1/a\)。
知识检查
问题 1：交流电压 \(V(t)=C\sin(120\pi t)\) 的 RMS 是？
问题 2：衰变概率 \(P=1-e^{-at}\) 的半衰期是？
问题 3：Simpson 法则在区间 \([x_0,x_2]\)（中点 \(x_1\)）的公式是？
自测小结
RMS
峰值/\(\sqrt{2}\)，来自 \(\sin^2\) 周期平均。
概率模型
反常积分归一化，半衰期 \(T_{1/2}=\ln 2/a\)。
Simpson 法则
\(h/3\) 乘 \((1,4,1)\) 权重，对三次以下精确。
数值近似
\(n\) 越大越精确，与精确值 1.22505 比较。
完整题目清单
共 11 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 截止时间为 2006 年 11 月 9 日（星期四）下午 12:55（注意：由于退伍军人节假期，本次作业截止日为星期四，而非星期五；须于下午 1:05 上课前提交）。
- 第一部分（22 分）：逐题完成各讲所列的教材习题。
- 第二部分（30 分）：尝试独立求解每道题的每一小题。若与他人合作，仍须独立撰写解答。严禁参考以往学期的材料。
- 第 0 题（3 分）：写出你曾咨询或合作的所有人的姓名，以及你所使用的资源；若没有，请写「无」或「未咨询」。
- 警告：尽管本次作业在考试 3 之后两天才截止，但除与第 25 讲相关的第一部分题目外，大部分题目需在星期二之前完成，作为备考考试 3 的过程。
覆盖范围
- 圆盘法与柱壳法求体积
- 功
- 平均值
- 概率
- 数值积分
- 三角积分
- 直接换元法
- 考试 3（第 18–24 讲）
- RMS 电压
- 广义积分
- 半衰期
- Simpson 法则
- Fresnel 积分
题目 I.1
第 22 讲作业：圆盘法与柱壳法求体积
Volumes by disks and shells
站内等价练习可离线作答
以下是一组站内等价练习，用于替代原教材习题，覆盖圆盘法（disk method）与柱壳法（shell method）求旋转体体积的核心内容。
- 练习 1：求由 \(y = \sqrt{x}\)、\(y = 0\)、\(x = 4\) 所围成的区域绕 \(x\) 轴旋转所形成的立体体积。
- 练习 2：求由 \(y = x^2\)、\(y = 0\)、\(x = 1\) 所围成的区域绕 \(y\) 轴旋转所形成的立体体积。
- 练习 3：求由 \(y = x\)、\(y = x^2\) 及 \(x = 0\)、\(x = 1\) 所围成的区域绕 \(x\) 轴旋转所形成的立体体积，分别用圆盘法和柱壳法计算并比较。
- 练习 4：求由 \(y = x\)、\(y = x^2\) 所围成的区域绕 \(y\) 轴旋转所形成的立体体积，分别用柱壳法和圆盘法计算并比较。
公式与已知条件
- 圆盘法（绕 \(x\) 轴）：\(V = \pi \int_{a}^{b} (R(x))^2 \, dx\)
- 圆盘法（绕 \(y\) 轴）：\(V = \pi \int_{c}^{d} (R(y))^2 \, dy\)
- 柱壳法（绕 \(y\) 轴）：\(V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot h(x) \, dx\)
- 柱壳法（绕 \(x\) 轴）：\(V = 2\pi \int_{c}^{d} y \cdot r(y) \, dy\)
解题入口画出示意图，标出边界曲线与旋转轴；根据积分方向确定半径（或柱壳高度）的表达式，并正确写出积分上下限。
完成后检查
- 确认半径非负，且积分限与交点横（纵）坐标一致
- 对同一立体用两种方法计算，结果应相等
- 柱壳法中检查半径与高度是否关于同一积分变量表示
原资料仅提供教材题号（4B-2e, 4B-2g, 4B-5, 4C-1a, 4C-2, 4C-3, 4J-3），未给出完整题面。此处依据第 22 讲主题（圆盘法与柱壳法求体积）设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/1d7ae64272a135e4b8041a3cf5286534_ps6.pdf · 1
题目 I.2
第 23 讲作业：功、平均值、概率
Work · Average value · Probability
站内等价练习可离线作答
以下是一组站内等价练习，用于替代原教材习题，覆盖变力做功、函数平均值与几何概型（面积比）的核心内容。
- 练习 1（功）：某弹簧的劲度系数 \(k = 200 \, \text{N/m}\)，求将其从自然长度拉伸 \(0.1 \, \text{m}\) 所做的功。
- 练习 2（平均值）：求函数 \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\) 在区间 \([0, 2]\) 上的平均值。
- 练习 3（概率）：从区间 \([0, 1]\) 上均匀随机地取一个数 \(X\)，求 \(X\) 落在 \([0.2, 0.6]\) 内的概率。
- 练习 4（概率）：从单位正方形 \(0 \le x \le 1\)、\(0 \le y \le 1\) 内随机取一点，求该点落在曲线 \(y = x^2\) 上方（即 \(y > x^2\)）的概率。
公式与已知条件
- 功：\(W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx\)
- 函数平均值：\(f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)
- 几何概型：\(P = \text{有利区域面积} / \text{总区域面积}\)
- 胡克定律：\(F(x) = kx\)
解题入口根据物理情境或几何描述建立定积分表达式；先明确被积函数与积分区间，再计算。
完成后检查
- 功的单位应为焦耳（J），平均值应与 \(f(x)\) 同量纲
- 概率值应在 0 到 1 之间
- 面积比问题可先画出区域，通过积分求面积再取比值
原资料仅提供教材题号（249/5, 249/6, 249/15, 4D-2, 4D-3, 4D-5），未给出完整题面。此处依据第 23 讲主题（功、平均值、概率）设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/1d7ae64272a135e4b8041a3cf5286534_ps6.pdf · 1
题目 I.3
第 24 讲作业：数值积分
Numerical integration
站内等价练习可离线作答
以下是一组站内等价练习，用于替代原教材习题，覆盖梯形法则与 Simpson 法则近似计算定积分的核心内容。
- 练习 1：用梯形法则（\(n = 4\)）近似计算 \(\int_{0}^{1} e^x \, dx\)。
- 练习 2：用 Simpson 法则（\(n = 4\)）近似计算 \(\int_{0}^{1} e^x \, dx\)。
- 练习 3：用 Simpson 法则（\(n = 4\)）近似计算 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\)，并估计使误差小于 \(0.001\) 所需的最少子区间数 \(n\)（\(n\) 为偶数）。
公式与已知条件
- 梯形法则：\(\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]\)
- Simpson 法则：\(\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]\)
- \(\Delta x = (b - a)/n\)，Simpson 法则要求 \(n\) 为偶数
解题入口先计算子区间宽度 \(\Delta x\) 与各节点处的函数值，再按对应法则的权重系数求加权和。
完成后检查
- 梯形法则权重为 1-2-2-...-2-1；Simpson 法则权重为 1-4-2-4-...-4-1
- Simpson 法则的 \(n\) 必须为偶数
- \(n\) 增大时近似值应更接近精确值
原资料仅提供教材题号（3G-1a, 3G-1d, 3G-4），未给出完整题面。此处依据第 24 讲主题（数值积分）设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。
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题目 I.4
第 25 讲作业：三角积分与直接换元法
Trigonometric integrals · Direct substitution
站内等价练习可离线作答
以下是一组站内等价练习，用于替代原教材习题，覆盖三角积分与直接换元法的核心内容。（考试 3 之后完成。）
- 练习 1：求 \(\int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx\)。
- 练习 2：求 \(\int \tan^3(x) \sec(x) \, dx\)。
- 练习 3：用换元法求 \(\int x\sqrt{x^2 + 1} \, dx\)。
- 练习 4：用换元法求 \(\int_{0}^{1} (2x + 1)^3 \, dx\)。
公式与已知条件
- \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
- \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\)
- 换元法：\(\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\)，其中 \(u = g(x)\)
解题入口观察被积函数结构：三角积分类先利用三角恒等式化简，再视情况换元；换元积分类识别内层函数 \(u = g(x)\) 及其导数。
完成后检查
- 三角积分完成后可利用恒等式化简或求导验证
- 换元法完成后应代回原变量（定积分可直接换限）
- 注意符号与系数，尤其是 \(\sec\) 与 \(\tan\) 的微分关系
原资料仅提供教材题号（5B-9, 5B-11, 5B-13, 5B-16, 5C-5, 5C-7, 5C-9, 5C-11），未给出完整题面。此处依据第 25 讲主题（三角积分、直接换元法）设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。
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题目 I.5
第 26 讲：考试 3
Exam covering lectures 18-24
官方题面翻译可离线作答
考试 3，时间 1:05–1:55，覆盖第 18–24 讲。
- 考试 3 覆盖第 18–24 讲
原资料包含完整题面，已翻译为中文。
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题目 0
合作与资源声明
Academic integrity
官方题面翻译可离线作答
写出你曾咨询或合作的所有人的姓名，以及你所使用的资源；若没有，请写「无」或「未咨询」。（完整说明见习题集 1。）
原资料包含完整题面，已翻译为中文。
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题目 1
圆盘法与柱壳法求体积（站内等价练习）
Volumes by disks and shells
站内等价练习可离线作答
以下是一组站内等价练习，覆盖圆盘法与柱壳法求旋转体体积的核心内容。
- 练习 1（3 分）：求由 \(y = \sqrt{x}\)、\(y = 0\)、\(x = 0\)、\(x = 4\) 所围成的区域绕 \(x\) 轴旋转所形成的立体体积。
- 练习 2（4 分）：求由 \(y = x\)、\(y = \sqrt{x}\)、\(x = 0\)、\(x = 1\) 所围成的区域绕 \(y\) 轴旋转所形成的立体体积，分别用柱壳法（对 \(x\) 积分）和圆盘法（对 \(y\) 积分）计算，并验证结果一致。
公式与已知条件
- 圆盘法（绕 \(x\) 轴）：\(V = \pi \int_{a}^{b} (R(x))^2 \, dx\)
- 圆盘法（绕 \(y\) 轴）：\(V = \pi \int_{c}^{d} (R(y))^2 \, dy\)
- 柱壳法（绕 \(y\) 轴）：\(V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot h(x) \, dx\)
- 柱壳法（绕 \(x\) 轴）：\(V = 2\pi \int_{c}^{d} y \cdot r(y) \, dy\)
解题入口画出示意图，标出边界曲线与旋转轴；根据积分方向确定半径（或柱壳高度）的表达式，并正确写出积分上下限。
完成后检查
- 确认半径非负，且积分限与交点横（纵）坐标一致
- 对同一立体用两种方法计算，结果应相等
- 柱壳法中检查半径与高度是否关于同一积分变量表示
原资料仅提供教材题号（7.4/12, 7.4/13），未给出完整题面。此处依据第 22 讲主题（圆盘法与柱壳法求体积）设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。
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题目 2
家用交流电的 RMS 电压
Average value · RMS voltage · Periodic functions
官方题面翻译可离线作答
家用交流电的电压 \(V(t) = C \sin(120\pi t)\)，其中 \(t\) 的单位为秒，\(C\) 为常数振幅。\(V(t)\) 在一个周期（即一个完整循环）上 \(V^2\) 的平均值的平方根称为均方根电压（root-mean-square voltage，简称 RMS）。家用电压表所显示的正是该值。对于家用交流电，试用常数 \(C\) 表示其 RMS 电压。（送至家庭的峰值电压为 \(\pm C\)。\(V^2\) 的单位为平方伏特；取平均值后再开方，单位恢复为伏特。）
公式与已知条件
- \(V(t) = C \sin(120\pi t)\)
- 峰值电压 = \(\pm C\)
- 角频率 = \(120\pi \, \text{rad/s}\)，周期 \(T = \frac{2\pi}{120\pi} = \frac{1}{60} \, \text{s}\)
- \(\text{RMS} = \sqrt{\text{一个周期上 } V^2 \text{ 的平均值}}\)
- 函数平均值：\(f_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \, dt\)
解题入口先写出 \(V^2 = C^2 \sin^2(120\pi t)\)，在一个周期上求其平均值，再开方。利用三角恒等式化简 \(\sin^2\)。
完成后检查
- RMS 的量纲应为伏特（V）
- 结果应以 \(C\) 表示
原资料包含完整题面，已翻译为中文。
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题目 3
概率与广义积分
Probability · Improper integrals · Half-life · Radioactive decay
官方题面翻译可离线作答
本题涉及几何概型（面积比）与广义积分。
- （1 分）在单位正方形 \(0 \le x \le 1\)、\(0 \le y \le 1\) 内随机取一点（概率等于面积），求 \(x^2 < y\) 的概率。
- （2 分）在正方形 \(0 \le x \le 2\)、\(0 \le y \le 2\) 内随机取一点（概率与面积成正比），求 \(x^2 < y\) 的概率。
- （1 分）计算 \(W = \int_{0}^{\infty} e^{-at} \, dt = \lim_{N\to\infty} \int_{0}^{N} e^{-at} \, dt\)。这是一个表示无界区域面积的广义积分。\(P([0,\infty)) = 1 = 100\%\)。
- （2 分）半衰期是使 \(P([0,T]) = 1/2\) 的时间 \(T\)。求使半衰期为 \(T = 1\) 的 \(a\) 与 \(W\) 的值。设一放射性粒子的半衰期为 1 秒，求它存活至 \(t = 1\)、但在 \(1 \le t \le 2\) 期间发生衰变的概率。（给出积分公式，并用计算器算出近似数值答案。）
公式与已知条件
- 单位正方形：\(0 \le x \le 1\)，\(0 \le y \le 1\)
- 正方形：\(0 \le x \le 2\)，\(0 \le y \le 2\)
- \(W = \int_{0}^{\infty} e^{-at} \, dt = \lim_{N\to\infty} \int_{0}^{N} e^{-at} \, dt\)
- \(P([0,T]) = \frac{1}{W} \int_{0}^{T} e^{-at} \, dt\)
- \(P([0,\infty)) = 1\)
- 半衰期条件：\(P([0,T]) = 1/2\)，\(T = 1\)
解题入口对 (a)(b)，先画出区域并求满足不等式的面积，再除以总面积；对 (c) 计算广义积分；对 (d) 由半衰期条件建立方程求参数。
完成后检查
- \(W\) 的积分在 \(a > 0\) 时收敛
- 概率归一性：\(P([0,\infty)) = 1\)
- 半衰期条件应给出 \(P([0,1]) = 1/2\)
原资料包含完整题面，已翻译为中文。
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题目 4
Simpson 法则的证明
Simpson's rule · Numerical integration · Quadratic interpolation · Symmetry in integration
官方题面翻译可离线作答
Simpson 法则的基础是如下公式。设 \(x_1\) 为区间 \([x_0, x_2]\) 的中点，记其长度为 \(2h\)。任取三点 \((x_0, y_0)\)、\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)，存在唯一的二次函数（抛物线）\(y = Ax^2 + Bx + C\) 的图像经过这三点。Simpson 法则断言：该抛物线在 \([x_0, x_2]\) 上的面积为 \(\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + y_2)\)。本题证明该公式，并展示如何通过对称性与前瞻简化计算。由于平移不改变面积，可设 \(x_0 = -h\)，\(x_1 = 0\)，\(x_2 = h\)。
- 画出示意图，并确定 \(C\) 的值。
- 通过积分说明：为求面积，只需确定 \(A\)（或更简便地，确定 \(2Ah^2\)）。
- 利用已知数据确定 \(2Ah^2\)。
- 综合上述结果，推导出面积公式 \(\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + y_2)\)。
公式与已知条件
- \(x_0 = -h\)，\(x_1 = 0\)，\(x_2 = h\)
- 抛物线：\(y = Ax^2 + Bx + C\)
- Simpson 法则面积公式：面积 = \(\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + y_2)\)
解题入口利用对称性：奇函数部分 \(Bx\) 在 \([-h, h]\) 上的积分为零，因此面积仅与 \(A\) 和 \(C\) 有关。先由数据确定 \(C\)，再求 \(2Ah^2\)，最后合并。
完成后检查
- \(x_1 = 0\) 时，\(C = y_1\)
- 面积公式对任意二次函数均精确成立
- 可验证 \(2Ah^2\) 与 \(\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + y_2)\) 中来自 \(C\) 的贡献之间的关系
原资料包含完整题面，已翻译为中文。
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题目 5
利用 Simpson 法则近似计算 Fresnel 积分
Fresnel integrals · Simpson's rule · Numerical integration
官方题面翻译可离线作答
使用计算器列出被积函数值表，并分别用 Simpson 法则在四个子区间和八个子区间下近似 Fresnel 积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \cos(t^2) \, dt\)。（精确答案保留五位小数为 \(1.22505\)。请将近似值保留六位小数以便比较。）
- 用 Simpson 法则（四个子区间）计算近似值。
- 用 Simpson 法则（八个子区间）计算近似值。
- 将两个近似值保留六位小数，并与精确值 \(1.22505\) 进行比较。
公式与已知条件
- Fresnel 积分：\(\int_{0}^{\pi/2} \cos(t^2) \, dt\)
- Simpson 法则：\(\int_{a}^{b} f(t) \, dt \approx \frac{\Delta t}{3}[f(t_0) + 4f(t_1) + 2f(t_2) + 4f(t_3) + \cdots + 4f(t_{n-1}) + f(t_n)]\)
- 精确答案（五位小数）：\(1.22505\)
解题入口在 \([0, \pi/2]\) 上分别取 \(n = 4\) 和 \(n = 8\)，计算各节点处 \(\cos(t^2)\) 的值，按 Simpson 法则权重求加权和。
完成后检查
- 八个子区间的近似值应比四个子区间更接近 \(1.22505\)
- Simpson 法则的 \(n\) 必须为偶数
原资料包含完整题面，已翻译为中文。
来源：study_materials/1d7ae64272a135e4b8041a3cf5286534_ps6.pdf · 2
来源与改编说明
- 来源说明：第一部分（I.1–I.4）原资料仅提供教材题号，未给出完整题面，已依据各讲主题设计站内等价练习，非 MIT 官方原题。
- 来源说明：第 1 题原资料仅提供教材题号（7.4/12, 7.4/13），未给出完整题面，已依据第 22 讲主题设计站内等价练习，非 MIT 官方原题。
- 来源说明：第 0、2、3、4、5 题原资料包含完整题面，已翻译为中文。
参考资料与资源
- 原文：
study_materials/1d7ae64272a135e4b8041a3cf5286534_ps6.pdf
- 相关讲义：第 23 课 · 第 24 课