曲线间面积
\(\int (\text{上} - \text{下})\,dx\)，注意分段
MIT 18.01 · 第 21 课
定积分的力量在于它能把「不规则形状」的度量变成积分运算。这一课把面积从「曲线下方」推广到「两条曲线之间」，再用切片法 (slicing) 求一般三维立体的体积——这是微积分走向几何应用的第一次飞跃。
第 18–20 课建立了定积分与基本定理的理论框架，第 15–16 课给出了实际物理意义（位移、速度）。这一课把抽象的积分落到几何上：面积与体积。下一课的圆盘法与壳层法会把「切片」技巧专门化到旋转体，而这里学到的「先截面、再积分」思路是处理一切累积量问题的通用模板。
设 \(f(x) \ge g(x)\) 对所有 \(x\in[a,b]\) 成立，由曲线 \(y=f(x)\)、\(y=g(x)\)、直线 \(x=a\)、\(x=b\) 所围区域的面积为
\[ A = \int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx. \]「外减内」原理：竖条的高度是 \(f(x)-g(x)\)，宽度是 \(dx\)，面积微元 \(dA = (f-g)\,dx\)。积分即把这些竖条从 \(a\) 累加到 \(b\)。
求由 \(y=x^2\) 与 \(y=x\) 所围区域的面积。
先求交点：\(x^2=x\) 得 \(x=0,1\)。在 \([0,1]\) 上 \(x \ge x^2\)，故
\[ A = \int_0^1 (x-x^2)\,dx = \Bigl[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\Bigr]_0^1 = \frac12-\frac13 = \frac16. \]求 \(y=\sin x\) 与 \(y=\cos x\) 在 \([0,\pi/2]\) 上所围面积。
交点：\(\sin x=\cos x\) 得 \(x=\pi/4\)。在 \([0,\pi/4]\) 上 \(\cos x\ge\sin x\)，在 \([\pi/4,\pi/2]\) 上 \(\sin x\ge\cos x\)。因此
\[ A = \int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x-\cos x)\,dx. \]第一段：\([\sin x+\cos x]_0^{\pi/4} = (\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2})-(0+1) = \sqrt2-1\)。第二段：\([-\cos x-\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = (0-1)-(-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}) = \sqrt2-1\)。总面积 \(=2\sqrt2-2\)。
必须找到交点：若区间内 \(f-g\) 会变号，必须分段积分，否则正负会抵消，得到错误面积。
有时对 \(y\) 积分更方便：若 \(x_{\text{right}}(y) \ge x_{\text{left}}(y)\)，则
\[ A = \int_c^d \bigl(x_{\text{right}}(y)-x_{\text{left}}(y)\bigr)\,dy. \]例：由 \(y=x^2\) 与 \(y=x\) 所围面积，改写为 \(x=y\) 与 \(x=\sqrt{y}\)，对 \(y\) 从 0 到 1 积分：
\[ A = \int_0^1 (y-\sqrt{y})\,dy = \Bigl[\frac{y^2}{2}-\frac{2}{3}y^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac12-\frac23 = \frac16. \]设三维立体位于 \(x=a\) 与 \(x=b\) 之间，过点 \(x\) 作垂直于 \(x\) 轴的截面，截面面积为 \(A(x)\)。体积微元是厚度 \(dx\)、底面 \(A(x)\) 的薄片，因此
\[ V = \int_a^b A(x)\,dx. \]「切片法」的核心：只要能用 \(x\) 表达截面积 \(A(x)\)，体积就等于 \(\int A(x)\,dx\)。
底面是边长为 \(a\) 的正方形、高为 \(h\) 的正方锥。在高度 \(x\) 处（从顶点起算），截面是边长为 \(s(x)=a\cdot x/h\) 的正方形，面积 \(A(x) = a^2 x^2/h^2\)。于是
\[ V = \int_0^h \frac{a^2 x^2}{h^2}\,dx = \frac{a^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{a^2 h}{3}, \]即「底乘高除以 3」。
任何底面积为 \(B\)、高为 \(h\) 的锥体，在高度 \(x\) 处截面面积按相似比 \(x/h\) 缩小：\(A(x) = B(x/h)^2\)。故
\[ V = \int_0^h B\frac{x^2}{h^2}\,dx = \frac{B}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{Bh}{3}. \]这说明所有锥体（不论底面形状）体积都是 \(\frac13 Bh\)。
求由 \(x,y,z>0\) 与 \(z/2 < x+y < z\) 所围区域的体积。
思路：先固定 \(z\)，水平截面是 \(x,y>0\) 上满足 \(z/2 < x+y < z\) 的区域，这是一个等腰直角三角形之间的「环带」。求出截面面积 \(A(z)\)（它是 \(z\) 的二次函数），再对 \(z\) 积分。
把区域 \(0\le y\le f(x)\)，\(a\le x\le b\) 绕 \(x\) 轴旋转，截面是半径 \(R(x)=f(x)\) 的圆盘，面积 \(A(x)=\pi f(x)^2\)，故
\[ V = \int_a^b \pi f(x)^2\,dx. \]这是下一课圆盘法 (disk method) 的特例。
面积必须是非负的：算面积时若 \(f-g\) 变号却没分段，积分会给出有向面积而非几何面积。
问题 1：由 \(y=x^2\) 与 \(y=x\) 所围区域的面积是
问题 2：底面积为 \(B\)、高为 \(h\) 的任意锥体体积是
问题 3：区域 \(0\le y\le f(x)\)，\(a\le x\le b\) 绕 \(x\) 轴旋转所得旋转体体积为
问题 4：由 \(y=x^2\) 与 \(y=2x\) 所围区域（取第一象限部分 \(0\le x\le 2\)）的面积是
\(\int (\text{上} - \text{下})\,dx\)，注意分段
\(V = \int_a^b A(x)\,dx\)
竖条对 x，水平条对 y
恒为 \(\frac13 Bh\)，不论底面形状