FTC 1
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)，其中 \(F'=f\)
MIT 18.01 · 第 19 课
求面积（定积分）和求变化率（导数）看似毫不相关，微积分第一基本定理 (First Fundamental Theorem of Calculus, FTC 1) 却指出：只要找到一个反导数，定积分就等于它在两端点的差。这一课把「黎曼和的极限」与「反导数」彻底打通。
第 18 课把定积分定义为黎曼和的极限——严格但难算。这一课给出一条捷径：只要 \(F'(x)=f(x)\)，就立刻有 \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)。从此积分计算从「取极限」变成「找反导数」，整个课程的操作面貌为之大变。下一课的第二基本定理再把这个关系反过来。
定理 (FTC 1)：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且存在函数 \(F(x)\) 使得 \(F'(x)=f(x)\)（即 \(F\) 是 \(f\) 的一个反导数 / 不定积分），则
\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]右端常记作 \(\bigl[F(x)\bigr]_a^b\) 或 \(F(x)\big|_a^b\)。这个记号把「找反导数、代上下限、相减」三步浓缩成一个表达式。
用反导数的记号 \(\int f(x)\,dx = F(x)+C\)，FTC 1 可以写成一种「朗朗上口」的形式：
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \Bigl(\int f(x)\,dx\Bigr)\Big|_a^b, \]即「先求不定积分，再代上下限求差」。这避免了每次都引入新的 \(F\) 符号。
证明的关键是把定积分拆成许多小段，再用微分中值定理。
把 \([a,b]\) 用分点 \(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\) 划分。由区间可加性：
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx. \]在每段 \([x_{i-1},x_i]\) 上对 \(F\) 用微分中值定理：存在 \(c_i\in(x_{i-1},x_i)\) 使得
\[ F(x_i)-F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i-x_{i-1}) = f(c_i)\,\Delta x_i. \]于是
\[ F(b)-F(a) = \sum_{i=1}^n \bigl(F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr) = \sum_{i=1}^n f(c_i)\,\Delta x_i, \]右端正是 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的一个黎曼和。令 \(\max\Delta x_i\to 0\)，该黎曼和趋于 \(\int_a^b f(x)\,dx\)，故等式成立。
直觉：\(F(b)-F(a)\) 是总变化量，把它拆成每小段 \(f(c_i)\Delta x_i\) 的累加，再取极限，就回到定积分的定义。
计算 \(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \sec^2 x\,dx\)。
因为 \((\tan x)' = \sec^2 x\)，取 \(F(x)=\tan x\)：
\[ \int_0^{\pi/4} \sec^2 x\,dx = \Bigl[\tan x\Bigr]_0^{\pi/4} = 1-0 = 1. \]计算 \(\displaystyle \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}\,dx\)。令 \(u=1+x^2\)，\(du=2x\,dx\)，当 \(x=0,1\) 时 \(u=1,2\)：
\[ \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}\,dx = \int_1^2 \frac{du}{u} = \Bigl[\ln u\Bigr]_1^2 = \ln 2. \]若质点的速度为 \(v(t)\)，则从 \(t=a\) 到 \(t=b\) 的位移为 \(\int_a^b v(t)\,dt = s(b)-s(a)\)，其中 \(s'(t)=v(t)\)。FTC 1 告诉我们：速度的累积就是位置的净变化。
FTC 1 要求被积函数连续：定理条件是 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续。如果 \(f\) 有跳跃间断点，反导数可能不存在，或公式失效。
问题 1：\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x\,dx\) 等于
问题 2：\(\displaystyle \int_0^1 e^{2x}\,dx\) 等于
问题 3：FTC 1 成立的充分条件是
问题 4：设 \(f\) 可导，\(f(0)=2\)，\(f(4)=10\)，则 \(\displaystyle \int_0^4 f'(x)\,dx\) 等于
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)，其中 \(F'=f\)
微分中值定理 + 区间可加性 + 黎曼和极限
找反导数 → 代上下限 → 相减
\(f\) 在 \([a,b]\) 上连续