FTC 2
\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)
MIT 18.01 · 第 20 课
微积分第二基本定理 (Second Fundamental Theorem of Calculus, FTC 2) 把积分与导数的关系翻转过来：「变上限积分」的导数恰好等于被积函数本身。这不仅是理论上的漂亮结论，还让我们能够用积分定义全新的函数——最经典的例子就是自然对数 \(\ln x\)。
第 19 课的 FTC 1 告诉我们：先求反导数，再求差，就得到定积分。这一课反过来：先积分，再求导，就回到被积函数。两个定理合在一起说明「求导」与「定积分」互逆。更重要的是，FTC 2 保证每一个连续函数都有反导数，我们可以用它来定义那些「积不出来」的函数，自然对数 \(\ln x\) 就是第一个重要实例。
定理 (FTC 2)：设 \(f(x)\) 在包含点 \(a\) 的区间上连续。定义
\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \]则 \(F\) 可导，且
\[ F'(x) = f(x). \]\(F(x)\) 是曲线 \(y=f(t)\) 从 \(t=a\) 到 \(t=x\) 下方的有向面积。当 \(x\) 增加 \(\Delta x\)，面积近似增加 \(f(x)\Delta x\)，所以面积的变化率就是 \(f(x)\) 那条竖直线段的长度。
FTC 2 ≠ 「反导数的定义」：初学者常把 \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) 与「不定积分」\(\int f(x)\,dx\) 混淆。前者是一个确定的函数（满足 \(F(a)=0\)）；后者是一族函数，差一个常数。FTC 2 中的 \(F\) 是后者里满足 \(F(a)=0\) 的那一个特例。
由导数定义，
\[ \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x} f(t)\,dt. \]当 \(\Delta x\) 很小时，区间 \([x,x+\Delta x]\) 上 \(f(t)\approx f(x)\)，积分近似为 \(f(x)\Delta x\)。于是差商近似 \(f(x)\)。令 \(\Delta x\to 0\)，由 \(f\) 的连续性，近似变成严格等式：\(F'(x)=f(x)\)。
FTC 1 说「有反导数就能算定积分」，但没保证反导数一定存在。FTC 2 恰好补上这个缺口：
推论：若 \(f\) 连续，则 \(\displaystyle G(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) 就是 \(f\) 的一个反导数。
这个反导数也许不能用初等函数写出（例如 \(e^{-x^2}\) 或 \(\sin x / x\)），但它一定存在，而且可以用数值积分求值、用计算机画图。
设 \(f(x)=2x\sin x^2\)，\(a=0\)，则
\[ F(x) = \int_0^x 2t\sin t^2\,dt = \Bigl[-\cos t^2\Bigr]_0^x = 1-\cos x^2. \]用链式法则求导：\(F'(x) = 2x\sin x^2 = f(x)\)，与 FTC 2 一致。
设 \(\displaystyle F(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt\)（正弦积分）。没有初等表达式，但 FTC 2 直接给出 \(F'(x)=\sin x / x\)（在 \(x\neq 0\) 时）。这是菲涅尔型积分的典型代表（参见 PS5 第 2 题中的 \(\int_0^x \cos(t^2)\,dt\)）。
我们已经知道 \(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)（\(n\neq -1\)），但 \(n=-1\) 即 \(1/x\) 的反导数一直悬而未决。FTC 2 给了我们一条新路：直接定义一个反导数。
定义：对 \(x>0\)，令
\[ L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}. \]（下限取 1 是因为被积函数 \(1/t\) 在 \(t=0\) 无定义。）
这个函数 \(L(x)\) 就是自然对数 \(\ln x\)。下面用 FTC 2 推出它的全部关键性质：
| 性质 | 表述 | 推导 |
|---|---|---|
| 定义域 | \(x>0\) | \(1/t\) 在 \(t>0\) 连续 |
| \(L(1)=0\) | \(\int_1^1 dt/t = 0\) | 上下限相等 |
| \(L'(x)=1/x\) | FTC 2 直接给出 | |
| \(L''(x)=-1/x^2\) | 对 \(1/x\) 求导 | 图像上凸（concave down） |
| \(L(ab)=L(a)+L(b)\) | 见下文证明 | 对数的基本性质 |
把区间拆开：
\[ L(ab) = \int_1^{ab}\frac{dt}{t} = \int_1^a \frac{dt}{t} + \int_a^{ab}\frac{dt}{t} = L(a) + \int_a^{ab}\frac{dt}{t}. \]对最后一个积分做换元 \(t = au\)，\(dt = a\,du\)，当 \(t=a,ab\) 时 \(u=1,b\)：
\[ \int_a^{ab}\frac{dt}{t} = \int_1^b \frac{a\,du}{au} = \int_1^b\frac{du}{u} = L(b). \]于是 \(L(ab)=L(a)+L(b)\)。
误差函数 erf：FTC 2 还能定义真正「积不出」的新函数，例如 \(\displaystyle \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt\)，它在概率论中至关重要，但没有初等闭形。
两个定理合在一起说明「求导」与「定积分」是互逆运算：
Notes FT 还给出了一个漂亮的逻辑链条：用 FTC 2 证明 FTC 1。设 \(G(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)，则 \(G'(x)=f(x)=F'(x)\)，于是 \(G(x)=F(x)+C\)。由 \(G(a)=0\) 得 \(C=-F(a)\)，再代入 \(x=b\) 即得 \(G(b)=F(b)-F(a)\)。
变上限积分的导数要谨慎：\(\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)\)（链式法则）。若上限不是 \(x\) 而是 \(g(x)\)，别忘了乘 \(g'(x)\)。
问题 1：\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^x \cos(t^2)\,dt\) 等于
问题 2：\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin(t)\,dt\) 等于
问题 3：设 \(\displaystyle L(x)=\int_1^x \frac{dt}{t}\)，则 \(L'(x)=\)
问题 4：由 \(L(ab)=L(a)+L(b)\) 可推出 \(L(1/a)=\)
\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)
每个连续函数都有反导数 \(\int_a^x f(t)\,dt\)
\(\ln x = \int_1^x dt/t\)，由此推出所有对数性质
求导与定积分互为逆运算