MIT 18.01 · Problem Set 4

Problem Set 4：定积分与基本定理

从平均值定理推导 \(\ln(1+x)\) 的逐阶不等式，到不定积分的多样表达、微分方程初值问题，再到用黎曼和直接算出 \(\int_0^1 e^x dx\)——本作业横跨 Lecture 14–20，把中值定理、微积分基本定理（FTC）与定积分定义第一次放在一起使用。

类型：Problem Set 4（Part I + Part II）截止：2006-10-20 13:55 覆盖：Lecture 18, 19, 20（Part I 含 Lecture 14–16）

学习目标

用平均值定理（MVT）系统证明 \(\ln(1+x)\) 的逐阶不等式，并归纳出交错级数形式。
理解同一不定积分可以有多个仅相差常数的正确原函数（如 \(\tan x\sec^2 x\) 的两种积分）。
用分离变量法解初值问题，并用黎曼和直接计算 \(\int_0^1 e^x dx\)，体验「FTC 之前」的繁琐。
用微分方程推导固定切线段长度的曲线（星形线重现）。

前置知识

第 14 课：中值定理与不等式——MVT 与单调性。
第 15 课：微分与反导数——反导数族。
第 16 课：微分方程分离变量——初值问题。
第 18 课：定积分——黎曼和定义。
第 19 课：第一基本定理——FTC1。
第 20 课：第二基本定理——FTC2、\(\ln x\) 定义。

结构说明

Part I（20 分）：MVT 不等式、反导数、微分方程的配套练习（Lecture 14–18）。
Part II（36 分 + 10 额外）：6 道大题，前半在 Exam 2 前完成，后半在考试后完成。

注意「STOP HERE」标记：Problem 1–4 在 Exam 2 前完成；Problem 5（黎曼和算 \(e^x\)）与 Problem 6（星形线微分方程）在考试后完成。

主题梳理与示例

1. MVT 证明 \(\ln(1+x)\) 不等式（Part II/1）

已知 \(f(0)=0\)、\(f'(x)\ge 0\)，由 MVT：对 \(x>0\) 存在 \(c\in(0,x)\) 使得：

\[f(x)=f(0)+f'(c)x=f'(c)x\ge 0\]

取 \(f(x)=x-\ln(1+x)\)，则 \(f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)\ge 0\)（\(x\ge 0\)），于是 \(\ln(1+x)\le x\)。

第 (c) 小题逐阶推进：\(\ln(1+x)\ge x-x^2/2\)、\(\ln(1+x)\le x-x^2/2+x^3/3\)，用 \(f(x)=\ln(1+x)-(x-x^2/2)\) 等函数。第 (d) 要求归纳出一般规律——交错级数：

\[\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},\qquad 0

这是 MVT 证明不等式的标准套路：构造辅助函数 → 求导判号 → 由 \(f(0)\) 确定符号方向。

2. 不定积分的多样表达（Part II/2）

验证 \(\displaystyle\int\tan x\sec^2 x\,dx=\frac12\tan^2 x\) 与 \(\displaystyle=\frac12\sec^2 x\) 都正确。关键恒等式：\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\)，所以两个原函数只差常数 \(1/2\)。这说明不定积分的「正确形式」不唯一。

5. 黎曼和算 \(\int_0^1 e^x dx\)（Part II/5）

把 \([0,1]\) 分成 \(n\) 等份，\(\Delta x=1/n\)，取下黎曼和：

\[L_n=\sum_{k=0}^{n-1} e^{k/n}\cdot\frac1n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}(e^{1/n})^k=\frac1n\cdot\frac{e-1}{e^{1/n}-1}\]

取极限 \(n\to\infty\)，需要：

\[\lim_{n\to\infty}n(e^{1/n}-1)=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1\]

于是：

\[\int_0^1 e^x dx=\lim_{n\to L_n}=e-1\]

这道题让你亲手感受「没有 FTC 时算积分有多麻烦」——从而体会基本定理的价值。

6. 星形线的微分方程（Part II/6，额外学分）

设切线在第一象限的线段长为 \(L\)。切线过 \((x_0,y_0)\)、斜率 \(m_0=y'\)，与坐标轴交点给出的线段长平方：

\[L^2=\left(x_0-\frac{y_0}{m_0}\right)^2+(y_0-m_0x_0)^2=(x_0-y_0/y')^2+(y_0-y'x_0)^2\]

化简后令 \(y''\) 因子分解，得到 \((xy'-y)y''=0\)。解 \(xy'-y=0\) 得直线 \(y=Cx\)（退化）；解 \(y''=0\) 也得直线；真正非平凡解来自约束，最终可验证 \(x^{2/3}+y^{2/3}=L^{2/3}\) 满足方程。

常见坑

MVT 不等式方向：\(f'(x)\ge 0\) 给出 \(f(x)\ge f(0)\)，注意是「\(\ge\)」不是「\(\le\)」。
不定积分忘加常数或误判唯一：\(\frac12\tan^2x\) 与 \(\frac12\sec^2x\) 只差常数，都对。
黎曼和几何级数求和出错：\(\sum_{k=0}^{n-1} r^k=(r^n-1)/(r-1)\)，注意项数是 \(n\) 不是 \(n-1\)。
极限 \(n(e^{1/n}-1)\)：令 \(h=1/n\)，用标准极限 \((e^h-1)/h\to 1\)。

知识检查

问题 1：若 \(f(0)=0\)、\(f'(x)\ge 0\)（\(x\ge 0\)），则 MVT 直接推出？

问题 2：\(\frac12\tan^2x\) 与 \(\frac12\sec^2x\) 都是 \(\tan x\sec^2x\) 的原函数，原因是？

问题 3：用黎曼和算 \(\int_0^1 e^x dx\) 的极限结果是？

自测小结

MVT 不等式

辅助函数 + 判导符号 + 用 \(f(0)\) 定方向。

反导数族

原函数不唯一，差常数即都对。

黎曼和

几何级数求和 + 标准指数极限。

FTC 价值

没有基本定理时，算一个 \(e^x\) 积分都很费劲。

完整题目清单

共 7 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

截止时间：2006 年 10 月 20 日（周五）下午 1:55。
这是习题集 4 的全部内容（不再拆分为 4A 与 4B）。虽然该作业在考试 2 之后才截止，但请在考前完成第一部分（Part I）中截至 Lecture 16 的全部练习，以及第二部分（Part II）中截至问题 4（Problem 4）的全部题目，以备考。
第一部分（Part I，20 分）：Lecture 14–19 的阅读与教材练习。
第二部分（Part II，36 分 + 10 分附加分）：请先独立尝试求解每道题的每个部分；若与他人合作，仍须独立完成解答。参阅以往学期的资料属于违规行为。每道题旁标注了建议完成时间。
到此为止。考试 2 之后再完成其余部分（适用于 Problem 5 与 Problem 6）。

覆盖范围

中值定理与不等式（Lecture 14，第 2.6 节，Notes MVT）
微分与反导数（Lecture 15，第 5.2–5.3 节）
微分方程；分离变量法（Lecture 16，第 5.4、8.5 节）
考试 2（Lecture 17，覆盖 Lecture 8–16）
定积分；求和记号（Lecture 18，第 6.3–6.5 节）
第一基本定理；积分的性质（Lecture 19，第 6.6–6.7 节）
利用微分方程推导内摆线切线长度性质

题目 0 合作与资源声明 学术诚信

官方题面翻译可离线作答

请列出你所咨询或合作的所有人员姓名，以及你所使用的资源；若没有，请填写“无”或“未咨询”。（详见 PS1 的完整说明。）

解题入口

非数学题，按要求披露即可得分。

原题面完整，已翻译并润色。

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题目 1 中值定理与不等式 中值定理 · 不等式 · \(\ln(1+x)\) 的泰勒/级数估计

官方题面翻译可离线作答

利用中值性质与单调性证明关于 \(\ln(1+x)\) 的不等式。

a) 利用中值性质证明：若 \(f(0)=0\) 且 \(f'(x) \ge 0\)，则对所有 \(x \ge 0\) 都有 \(f(x) \ge 0\)。
b) 由 (a) 推出：当 \(x \ge 0\) 时，\(\ln(1+x) \le x\)。提示：取 \(f(x)=x-\ln(1+x)\)。
c) 采用与 (b) 相同的方法，证明当 \(x \ge 0\) 时，\(\ln(1+x) \ge x - x^2/2\) 且 \(\ln(1+x) \le x - x^2/2 + x^3/3\)。
d) 观察 (b) 与 (c) 中的规律，提出一般猜想。
e) 证明当 \(-1 < x \le 0\) 时，\(\ln(1+x) \le x\)。使用换元 \(u = -x\)。

公式与已知条件

\(f(0)=0\)，\(f'(x) \ge 0\)
当 \(x \ge 0\) 时，\(\ln(1+x) \le x\)
当 \(x \ge 0\) 时，\(\ln(1+x) \ge x - x^2/2\)
当 \(x \ge 0\) 时，\(\ln(1+x) \le x - x^2/2 + x^3/3\)
换元 \(u = -x\)

解题入口

构造辅助函数，利用中值定理判断导数符号以得到单调性，再代入端点值。对 (e) 把负 \(x\) 情形转化为正 \(x\) 情形。

完成后检查

(a) 检查单调性论证是否成立。
(b)–(c) 确认每个不等式方向与导数符号分析一致。
(d) 识别交错级数的规律。
(e) 确认换元处理定义域 \(-1 < x \le 0\) 无误。

原题面完整，已翻译。

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题目 2 微分与反导数 反导数 · 三角积分 · 观察凑微分

站内等价练习可离线作答

计算并比较两类相关三角被积函数的反导数。

a) 计算反导数：\(\int \tan^2 x \sec x \,dx\)。
b) 对以下两个积分等式分别把右边求导，验证是否等于左边的被积函数，并解释两类被积函数 \(\tan^2 x \sec x\) 与 \(\tan x \sec^2 x\) 形式相近，但反导数结构为何不同：\(\int \tan^2 x \sec x \,dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x - \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C\) 与 \(\int \tan x \sec^2 x \,dx = \frac{1}{2}\tan^2 x + C\)。

公式与已知条件

\(\int \tan^2 x \sec x \,dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x - \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C\)
\(\int \tan x \sec^2 x \,dx = \frac{1}{2}\tan^2 x + C\)

解题入口

对 (b) 将等式右边求导验证；解释两类被积函数表面相近但所需换元不同（\(\sec^2 x\) 与 \(\sec x \tan x\) 的导数关系），导致反导数形式差异。

完成后检查

(a) 用求导回代核对结果。
(b) 对两个被积函数求导验证正确性，并说明表面差异的来源。

原题面仅给出教材题号 5.3/68，无法忠实恢复原题；已根据 topics、coverage 与课程阶段设计站内等价自包含练习，不冒充官方原题。已修正原题中第一个积分等式的数学错误，确保题面自洽。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e13dc193e1f610134a7a76f7fc8a4ee6_ps4.pdf · 1

题目 3 微分方程教材练习 微分方程 · 分离变量法

站内等价练习可离线作答

求解下列可分离变量微分方程练习。

a) 求方程 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{x^2 - 1}\) 的通解（答案请自行验证）。
b) 求方程 \(\frac{dy}{dx} = \frac{x e^{x^2}}{2y}\) 满足初始条件 \(y(0) = 1\) 的特解。

公式与已知条件

\(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{x^2 - 1}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{x e^{x^2}}{2y}\)，\(y(0) = 1\)

解题入口

使用分离变量法，对等式两边分别积分后解出 \(y\)。

完成后检查

(a) 核对通解是否覆盖 \(y = \pm 1\) 等特殊情况。
(b) 将解代回原方程并验证初始条件。

原题面仅给出教材题号 8.6/5、8.6/6，无法忠实恢复原题；已根据 topics 与课程阶段设计站内等价自包含练习，不冒充官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e13dc193e1f610134a7a76f7fc8a4ee6_ps4.pdf · 1

题目 4 微分方程练习 3F-5 微分方程 · 分离变量法 / Notes 3F 中的求解技巧

站内等价练习可离线作答

求解下列微分方程，方法参考第 5.4 节与 Notes 3F。

a) 求 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+1}\) 的通解。
b) 求 \(\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2\) 的通解。
c) 求 \(\frac{dy}{dx} = y^2 \sin x\) 的通解。

公式与已知条件

\(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+1}\)
\(\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2\)
\(\frac{dy}{dx} = y^2 \sin x\)

解题入口

根据题型选用分离变量法或一阶线性方程积分因子法。

完成后检查

将每个解代回对应微分方程验证。
检查是否遗漏 \(y = 0\) 等平凡解。

原题面仅给出 Notes 3F 题号 5abc，无法忠实恢复原题；已根据 topics 与课程阶段设计站内等价自包含练习，不冒充官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e13dc193e1f610134a7a76f7fc8a4ee6_ps4.pdf · 1

题目 5 用下黎曼和计算定积分 定积分 · 黎曼和 · 几何级数 · 数列极限 · \(e^x\) 的线性近似

官方题面翻译可离线作答

利用下黎曼和计算 \(\int_0^1 e^x \,dx\)。先将黎曼和化为几何级数的形式，再利用指数函数的标准线性近似，求极限 \(\lim_{n\to\infty} n(e^{1/n} - 1)\)。

公式与已知条件

积分：\(\int_0^1 e^x \,dx\)
待求极限：\(\lim_{n\to\infty} n(e^{1/n} - 1)\)
\(e^x\) 在 0 附近的线性近似

解题入口

将 \([0,1]\) 作 \(n\) 等分，取左端点（因 \(e^x\) 单调递增，故为下和），求和后取 \(n\to\infty\)，利用 \(e^{1/n} \approx 1 + 1/n\)。

完成后检查

取极限前先核对黎曼和表达式。
确认极限计算得到预期值 \(e - 1\)。

原题面完整，已翻译。

来源：study_materials/e13dc193e1f610134a7a76f7fc8a4ee6_ps4.pdf · 1–2

题目 6 内摆线进一步讨论（附加分） 微分方程 · 切线段长度 · 内摆线 · 曲线族

官方题面翻译可离线作答

利用微分方程求如下曲线：其在第一象限内的切线段长度保持为定值。

a) 设过点 \((x_0, y_0)\) 的直线斜率为 \(m_0\)，且该点位于第一象限。记 \(L\) 为该直线在第一象限内的长度。将 \(L^2\) 用 \(x_0\)、\(y_0\) 与 \(m_0\) 表示，不要展开或化简。
b) 设 \(y = f(x)\) 是定义在 \(0 \le x \le L\) 上的曲线，满足 \(f(0) = L\)、\(f(L) = 0\)，且曲线上任一点的切线在第一象限内的长度均为 \(L\)。求 \(f\) 所满足的微分方程，用 \(L\)、\(x\)、\(y\) 与 \(y' = dy/dx\) 表示。不取平方根，使用 \(L^2\)；不要展开或化简。
c) 将 (b) 中的方程对 \(x\) 求导，化简并写成（某式）\((x y' - y) y'' = 0\) 的形式。
d) 证明 \(x^{2/3} + y^{2/3} = L^{2/3}\) 是 (c) 中方程的一组解。另外两组解 \(y'' = 0\) 与 \(x y' - y = 0\) 分别对应什么曲线？

公式与已知条件

边界条件：\(f(0) = L\)，\(f(L) = 0\)
切线长度 = \(L\)
目标曲线：\(x^{2/3} + y^{2/3} = L^{2/3}\)
微分形式：（某式）\((x y' - y) y'' = 0\)

解题入口

(a) 求切线截距后再算平方距离；(b) 在曲线上施加 \(L^2\) 为常数；(c) 求导并因式分解；(d) 逐因子讨论。

完成后检查

(a) 确认 \(L^2\) 表达式正确且未展开。
(b) 确认微分方程使用了 \(L^2\) 与给定变量。
(c) 确认因式分解与化简无误。
(d) 验证 \(x^{2/3} + y^{2/3} = L^{2/3}\) 满足方程，并对另外两类解族分类。

原题面完整，已翻译。

来源：study_materials/e13dc193e1f610134a7a76f7fc8a4ee6_ps4.pdf · 2

来源与改编说明

说明：原资料中 Part I 练习（2G-1b、2b、5、6；3A-1de、2acegik、-3aceg；3F-1cd、2ae、4bcd、8b；3B-2ab、3b、4a、5；4J-1）与 Part II 的 5.3/68、8.6/5、8.6/6、Notes 3F 第 5 题 abc 均只给出题号，无法逐题提供官方原题面；已在对应题目中依据 topics、coverage 与课程阶段设计自包含站内等价练习，站内练习不会冒充为 MIT 原题。

参考资料与资源

原文：study_materials/e13dc193e1f610134a7a76f7fc8a4ee6_ps4.pdf
相关讲义：第 18 课 · 第 19 课 · 第 20 课