圆盘法
\(V = \int \pi R^2 dx\)（垂直于轴切片）
MIT 18.01 · 第 22 课
旋转体是切片法最经典的应用场景。这一课给出两种互补的切片思路：垂直于旋转轴的「圆盘 / 垫圈法」与平行于旋转轴的「圆柱壳层法 (shell method)」。掌握「何时用哪种」是期中考试的标志性技能。
第 21 课建立了「先截面、再积分」的通用思路。这一课把它专门化到旋转体：绕 \(x\) 轴或 \(y\) 轴旋转的立体，分别对应圆盘/垫圈法与壳层法。Exam 3 必考这两类问题，且常需要你判断哪种方法更省事——这是本课的核心训练。
把区域绕 \(x\) 轴旋转。垂直于 \(x\) 轴的截面是圆盘，半径 \(R(x) = f(x)\)，厚度 \(dx\)。体积微元 \(dV = \pi R(x)^2\,dx\)，故
\[ V = \int_a^b \pi\, f(x)^2\,dx. \]若旋转区域由外半径 \(R(x)\) 与内半径 \(r(x)\) 围成（即中间有空洞），截面是环形（垫圈）：
\[ V = \int_a^b \pi\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr)\,dx. \]由 \(y=\sqrt{a^2-x^2}\)（\(-a\le x\le a\)）绕 \(x\) 轴旋转得半径为 \(a\) 的球：
\[ V = \int_{-a}^a \pi\,(a^2-x^2)\,dx = \pi\Bigl[a^2x-\frac{x^3}{3}\Bigr]_{-a}^a = \frac{4}{3}\pi a^3. \]把 \(y=x^2\)（\(0\le x\le 1\)，\(0\le y\le 1\)）绕 \(y\) 轴旋转。用水平切片（对 \(y\) 积分）：外半径 \(R=1\)，内半径 \(r=\sqrt{y}\)，故
\[ V = \int_0^1 \pi(1^2 - (\sqrt{y})^2)\,dy = \pi\int_0^1 (1-y)\,dy = \pi\Bigl[y-\frac{y^2}{2}\Bigr]_0^1 = \frac{\pi}{2}. \]仍把区域绕 \(y\) 轴旋转，但这次用平行于旋转轴 的竖条切片。距轴 \(x\) 处、高度 \(h(x)\)、厚度 \(dx\) 的竖条旋转形成圆柱壳层：
体积微元 \(dV = (\text{周长})\times(\text{高})\times(\text{厚}) = 2\pi x\,h(x)\,dx\)，故
\[ V = \int_a^b 2\pi\,x\,h(x)\,dx. \]「壳层法」的核心：把立体看成一层层薄壁圆柱壳的套叠。半径 \(x\) 越大，壳层周长 \(2\pi x\) 越长，体积贡献越大。
把 \(y=x^2\)（\(0\le x\le 1\)）与 \(y=0\)、\(x=1\) 所围区域绕 \(y\) 轴旋转。竖条高度 \(h(x)=x^2\)，故
\[ V = \int_0^1 2\pi\,x\cdot x^2\,dx = 2\pi\int_0^1 x^3\,dx = 2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi}{2}. \]与垫圈法结果一致。
顶点在原点、轴沿正 \(y\) 轴的圆锥，高 5、底半径 1，顶部覆盖由 \(y=6-x^2\) 绕 \(y\) 轴旋转得到的抛物面冰淇淋。
用壳层法：在 \(x\) 处的竖条，下界是圆锥的斜线、上界是抛物线，壳层高度 \(h(x) = (6-x^2) - (\text{圆锥半径关系})\)。积分得冰淇淋总体积。
Exam 3 常要求你判断哪种方法更省事。经验法则：
| 情形 | 推荐方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 绕 x 轴，竖条截面易表达 | 圆盘法 \(\int \pi R^2 dx\) | 半径平行于轴 |
| 绕 y 轴，竖条旋转半径恒为 x | 壳层法 \(\int 2\pi x h\,dx\) | 避免对 \(y\) 解反函数 |
| 绕 y 轴，水平截面是圆 | 垫圈法 \(\int \pi(R^2-r^2)dy\) | 半径平行于轴 |
| 绕 x 轴，水平条旋转半径恒为 y | 壳层法 \(\int 2\pi y\,w\,dy\) | 避免对 \(x\) 解反函数 |
核心判断：切片方向应与旋转轴平行（壳层法）还是垂直（圆盘法）？选能让半径、高度表达式最简单的那个。
垫圈法要「外方减内方」：\(\pi(R^2-r^2)\)，不是 \(\pi(R-r)^2\)。后者是错的。
问题 1：由 \(y=x\)，\(x=0\)，\(y=0\) 所围三角形绕 \(y\) 轴旋转所得体积为
问题 2：由 \(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\) 所围区域绕 \(x\) 轴旋转所得体积为
问题 3：由 \(y=1-x^2\)，\(y=0\)（\(0\le x\le 1\)）绕 \(y\) 轴旋转，壳层法的半径是
问题 4：下列哪项是壳层法的体积公式？
\(V = \int \pi R^2 dx\)（垂直于轴切片）
\(V = \int \pi(R^2-r^2) dx\)
\(V = \int 2\pi x h\,dx\)（平行于轴切片）
让半径、高表达式最简