微分
\(dy=f'(x)\,dx\)，切线的线性主部
MIT 18.01 · 第 15 课
求导是"已知 f 求 f′"；反导数是它的逆问题——"已知 f′，找回 f"。本课引入微分 \(dy=f'(x)\,dx\) 记号，并系统讨论反导数（不定积分），为下一课的微分方程和之后的定积分做准备。
这是课程从"微分学"转向"积分学"的桥梁。前面所有课都在"求导"。这一课提出逆问题，引入反导数与不定积分记号 \(\int f(x)\,dx\)，并建立基本积分公式——本质上就是把求导法则反过来用。下一课（第 16 课）就用分离变量法，通过反导数解最简单的微分方程。
给定 \(y=f(x)\)，微分 (differential) 定义为
微分定义
\[dy = f'(x)\,dx,\]
其中 \(dx\) 是自变量的一个微小改变（独立变量），\(dy\) 是沿切线对应的改变量。
微分与增量的关系：\(\Delta y = f(x+dx)-f(x)\) 是真实改变量，而 \(dy\) 是它的线性主部。当 \(dx\) 很小时，\(\Delta y \approx dy\)——这正是第 9 课线性逼近的另一种写法：
\[f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\,\Delta x.\]
若 \(F'(x)=f(x)\)，则 F 叫做 f 的一个反导数(antiderivative)，也称原函数。
不定积分记号
\[\int f(x)\,dx = F(x)+C,\]
其中 C 为任意常数——因为常数的导数为 0，所以反导数总带一个常数项。
注意：反导数是函数族（一族相差常数的函数），不是单个函数。这是不定积分与定积分的关键区别。
| \(f(x)\) | \(\displaystyle\int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(x^n\;(n\neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
| \(x^{-1}=\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|+C\) |
| \(e^x\) | \(e^x+C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x+C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x+C\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x+C\) |
\[\int \big(af(x)+bg(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.\]
积分的线性让复杂函数可以"拆开积"——这是积分表赖以建立的基础。
\[\int \big(3x^2+2x+e^x\big)\,dx = x^3+x^2+e^x+C.\]
验证：对右端求导即回被积函数。
\[\int \frac{x^2+2x+1}{x}\,dx = \int \big(x+2+\frac{1}{x}\big)\,dx = \frac{x^2}{2}+2x+\ln|x|+C.\]
不是所有积分都能直接套公式，先做代数化简往往是关键一步。
问题 1：函数 \(y=f(x)\) 的微分 dy 定义为？
问题 2：\(\displaystyle\int 2x\,dx\) 等于？
问题 3：如何验证一个不定积分算对了？
问题 4：\(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\) 等于？
\(dy=f'(x)\,dx\)，切线的线性主部
\(F'=f\)，求导的逆问题
\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)，一族函数
求导公式的逆，幂/指/三
拆开积，逐项积