MIT 18.01 · Problem Set 3
Problem Set 3：相关变化率、牛顿法与星形线
本次作业把极值、隐函数求导、误差传播与牛顿迭代连接起来，并用滑动梯子的包络问题综合训练极限与相关变化率。导读只提供方法入口，不给出官方题目的最终结论。
覆盖：Lecture 11–14中文自包含可离线作答
目标
- 在闭区间极值问题中同时检查临界点与端点。
- 从几何约束建立方程，再用隐函数求导处理相关变化率和测量灵敏度。
- 使用牛顿法迭代求根，并从函数几何性质判断迭代行为。
- 通过相邻曲线或线段交点的极限理解包络线的形成机制。
- 用量纲、对称性与极端情形检查推导是否合理。
核心知识要点
先建模，再求导
相关变化率题的关键不是立刻写导数，而是先明确哪些量随时间或测量值变化、哪些量保持不变，并写出始终成立的约束。之后对同一个自变量求导，最后才代入指定状态。
牛顿法是切线迭代
一般迭代式为 \(x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)\)。数值结果之外，还应结合凸凹性、切线位置和前几步迭代判断收敛方向，避免把起始点与后续点混为一谈。
包络来自相邻成员的极限交点
对一族连续变化的直线，先求两条相邻直线的交点，再让两组参数趋于一致。所得极限点沿参数移动形成包络边界；推导中应同时检查交换坐标后的对称性。
覆盖范围
- 闭区间上的绝对极值与端点检验
- 隐函数求导与相关变化率
- 测量误差和导数近似
- 抛物线几何中的角度灵敏度
- 牛顿法及迭代收敛的几何解释
- 滑动梯子、星形线与包络线
典型题型与解题策略
1
约束型最值
明确变量范围，把目标量化为单变量函数；求临界点后必须回到闭区间检查端点，并说明为什么候选点给出绝对最值。
2
相关变化率与灵敏度
先写几何或物理约束，再对测量变量求导。比较导数与有限差商时，要结合导数在区间上的增减性判断不等式方向。
3
迭代与包络
牛顿法先计算少量迭代观察模式，再用函数几何证明；包络问题先做交点代数，再取相邻位置的极限，最后用对称性和原约束化简。
常见错误
在相关变化率题中先代入数值，导致变量关系和符号信息丢失。
把有限差商与某一点的导数直接视为相等，没有检查导数在区间上的变化。
根据一两步牛顿迭代就断言整个序列单调，未结合凸凹性证明。
包络交点公式未做交换 \(x,y\) 的对称性或尺度检查。
知识检查
问题 1：求连续函数在闭区间上的绝对最大值时，必须比较哪些位置？
问题 2：牛顿法中 \(x_{n+1}\) 的几何意义是什么？
问题 3：一族直线的包络边界通常可由哪种过程得到？
完整题目清单
共 8 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 截止时间：2006 年 10 月 6 日（周五）下午 1:55。
- 第 I 部分（10 分）：第 11–14 讲阅读与教材配套练习。
- 第 II 部分（31 分 + 8 分附加分）：尝试独立求解每道题的每个小问。如与他人合作，解答仍须独立完成。查阅以往学期的课程材料属于违规行为。每道题旁标注了该题可完成的日期。
覆盖范围
- 最值问题（第 11 讲，4.3–4.4 节）
- 相关变化率问题（第 12 讲，4.5 节）
- 牛顿法（第 13 讲，4.6 节）
- 中值定理与不等式（第 14 讲，2.6 节，MVT 笔记）
- 星形线（hypocycloid）切线长度性质
- 测量灵敏度
题目 0
合作与资源声明
学术诚信
官方题面翻译可离线作答
写下你咨询过的所有合作者姓名以及你使用的所有资源，或填写“无”或“未咨询”。
本题为官方题面翻译。
来源：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 1
题目 Part I
第 I 部分：第 11–14 讲预备练习
绝对极值 · 相关变化率 · 牛顿法 · 中值定理与不等式
站内等价练习可离线作答
原 PDF 的第 I 部分只列出教材与补充笔记中的练习编号，未附完整题面。以下为按第 11–14 讲主题编写的自包含站内等价练习，并非 MIT 官方原题。
- 第 11 讲（最值）：设 \(f(x)=x+\frac{4}{x}\)，定义域为 \(x>0\)。求临界点，判断其极值性质，并说明当 \(x\to0^+\) 与 \(x\to\infty\) 时的函数行为如何支持你的结论。
- 第 12 讲（相关变化率）：一个圆的半径以 \(3\,\mathrm{cm/s}\) 的速率增加。写出面积 \(A\) 与半径 \(r\) 的关系，对时间求导，并建立半径为 \(10\,\mathrm{cm}\) 时面积变化率的计算式；保留为含 \(\pi\) 的表达式即可。
- 第 13 讲（牛顿法）：对方程 \(x^3-2=0\)，写出牛顿迭代公式。从 \(x_0=1\) 开始计算 \(x_1\) 与 \(x_2\)，并用代回原方程的残差比较两步近似。
- 第 14 讲（中值定理）：设 \(a<b\)。对函数 \(f(x)=\sin x\) 在 \([a,b]\) 上应用中值定理，证明 \(|\sin b-\sin a|\le |b-a|\)。说明证明中使用了导数的哪个界。
公式与已知条件
- 第 11–14 讲对应主题：最值、相关变化率、牛顿法、中值定理
- 所有函数、区间、初值与单位均已在各子题中给出
解题入口按讲次完成：先明确定义域或约束，再选择导数、隐式求导、牛顿迭代或中值定理。
完成后检查
- 最值题同时检查了临界点与边界行为。
- 相关变化率题先对一般关系求导，再代入指定状态。
- 牛顿法题用残差而非只看小数位数检查改进。
- 中值定理题明确写出了导数的绝对值上界。
站内等价练习。原 PDF 只列外部练习编号；本站依据第 11–14 讲主题编写完整题面，非 MIT 官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 1
题目 1
最值问题（教材练习）
最值问题 · 端点检验
站内等价练习可离线作答
求解下列课程主题对应的自包含等价练习。
- a)（对应教材 4.3/28）一架梯子需越过一堵距墙面 4 米、高 2 米的篱笆到达墙面。设梯子底端距墙面 \(x\) 米，将梯子长度 \(L\) 表示为 \(x\) 的函数，求使 \(L\) 最小的 \(x\) 值，并检查端点。
- b)（对应教材 4.4/28）从一块 10 米 × 6 米的矩形板材四角各切去边长为 \(h\) 的正方形，折起做成无盖长方体容器。将容积 \(V\) 表示为 \(h\) 的函数，求使 \(V\) 最大的 \(h\) 值，并检查端点。
公式与已知条件
- 梯子长度 \(L\) 与底端距离 \(x\) 的几何关系（相似三角形）
- 长方体容积 \(V = \text{长} \times \text{宽} \times h\)
解题入口选取合适的自变量，将待优化量写成该变量的函数，求临界点并检验端点。
完成后检查
- 确认端点已被计算。
- 验证临界点给出的是极大值还是极小值。
本题为站内等价练习，依据课程主题（最值问题、端点检验）和习题编号设计，非 MIT 原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 1
题目 2
星形线切线长度
隐函数求导 · 切线 · 星形线（hypocycloid） · 第一象限截距
官方题面翻译可离线作答
证明：曲线 \(x^{2/3} + y^{2/3} = 1\) 在第一象限的每一条切线，位于第一象限内的线段长度均为 1。（使用隐函数求导；此即教材第 114 页习题 45。）
公式与已知条件
- 曲线方程：\(x^{2/3} + y^{2/3} = 1\)
- 参考：教材第 114 页习题 45
解题入口用隐函数求导求第一象限内任一点处的切线方程，求出截距后计算两截距之间的距离。
本题为官方题面翻译。
来源：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 1
题目 3
测量灵敏度（续）
隐函数求导 · 测量灵敏度 · 线性近似 · 误差传播 · 卫星测距几何
官方题面翻译可离线作答
利用习题集 1 第 II 部分第 2 题的关系，通过隐函数求导研究测量灵敏度。
- a) 设 \(L^2+20{,}000^2=h^2\)，即 \(L=\sqrt{h^2-20{,}000^2}\)。先在中心值 \(h_0=25{,}000\) 与 \(h_0=20{,}001\) 处，分别取 \(\Delta h=1,10^{-1},10^{-2}\)，自行计算 \(\Delta L/\Delta h=[L(h_0+\Delta h)-L(h_0)]/\Delta h\)。再用隐函数求导计算 \(dL/dh\)，比较有限差商与线性近似。解释当导数在不确定区间的左端点处取值时（\(\Delta h>0\)），为何 \(\Delta L/\Delta h\le dL/dh\)。\(h\) 在什么取值范围内有 \(|\Delta L|\le2|\Delta h|\)？
- b) 假设 Quirk 星球不仅是平的，而且是一维的（一条直线）。若干卫星位于 20,000 千米高度。卫星 1 位于 \(x_1 \pm 10^{-10}\) 正上方，距离 \(h_1 = 21{,}000 \pm 10^{-2}\)；卫星 2 位于 \(x_2 \pm 10^{-10}\) 正上方，距离 \(h_2 = 52{,}000 \pm 10^{-2}\)。你在何处，精度如何？提示：分别考虑 \(x_1 < x_2\) 和 \(x_1 > x_2\) 两种情形。
- c) 用从地面观察者到卫星的视线与水平方向的夹角 \(\theta\) 表示 \(\frac{dL}{dh}\)。（用视线夹角表达后，该公式对地球这样的弯曲星球同样适用。）
公式与已知条件
- \(L^2 + 20{,}000^2 = h^2\)
- 比较用中心值：\(h_0=25{,}000\) 与 \(h_0=20{,}001\)
- 扰动取值：\(\Delta h=1,10^{-1},10^{-2}\)
- \(h_1 = 21{,}000 \pm 10^{-2}\)
- \(h_2 = 52{,}000 \pm 10^{-2}\)
- 位置不确定度：\(\pm 10^{-10}\)
解题入口对勾股关系隐式求导；(b) 利用两距离方程求解位置并传播误差；(c) 用直角三角形三角函数。
完成后检查
- (a) 验证不等式方向及 \(h\) 范围。
- (b) 检查 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的两种排序。
- (c) 确认公式退化为平直情形并可推广到弯曲几何。
本题为官方题面翻译，所需条件均已给出。
来源：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 1–2
题目 4
测量灵敏度（续）：抛物面镜
隐函数求导 · 相关变化率 · 抛物面镜 / 焦点几何 · 误差估计
官方题面翻译可离线作答
考虑抛物面镜 \(y = -\frac{1}{4} + x^2\)，焦点在原点。一束光线沿 \(x = a\) 垂直向下传播，在镜面上点 \((a, b)\) 处反射，其中 \(b = -\frac{1}{4} + a^2\)，然后沿与正 x 轴夹角为 \(\theta\) 的射线射向原点。
- a) 求 \(\tan\theta\) 关于 \(a\) 和 \(b\) 的表达式，并用隐函数求导计算 \(\frac{d\theta}{da}\)。答案用 \(a\) 和 \(\theta\) 表示。
- b) 若望远镜记录一颗恒星位于 \(\theta = -\frac{\pi}{6}\)，测量精度为 \(10^{-3}\) 弧度，利用 (a) 估计该恒星在变量 \(a\) 中的位置。
- c)（选做，不计分）将 \(a\) 单独表示为 \(\theta\) 的函数，并复核 (a)(b) 的答案。
公式与已知条件
- 抛物面镜方程：\(y = -\frac{1}{4} + x^2\)
- 入射点：\((a, b)\)，其中 \(b = -\frac{1}{4} + a^2\)
- 焦点在原点
- \(\theta = -\frac{\pi}{6}\)，精度 \(\pm 10^{-3}\) 弧度
解题入口将 \(\theta\) 与从 \((a, b)\) 到原点的射线斜率关联；隐式求导；(b) 利用 \(\Delta\theta \approx \frac{d\theta}{da}\Delta a\)。
完成后检查
- (a) 验证量纲与符号约定。
- (b) 确认估计的 \(a\) 与 \(\theta = -\frac{\pi}{6}\) 一致。
本题为官方题面翻译。
来源：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 2
题目 5
牛顿法
牛顿法 · 迭代近似 · 二次近似 / 泰勒展开
官方题面翻译可离线作答
用牛顿法计算 9 的立方根。
- a) 用牛顿法将 \(9^{1/3}\) 计算到 6 位有效数字。给出通项公式，从 \(x_0 = 2\) 开始列出各次迭代值。第几次迭代 \(k\) 的精度超过你的计算器或计算机？答案按计算器或计算机的精度呈现。
- b) 对每一步 \(x_k\)（\(k = 0, 1, \ldots\)），判断：i) 该值大于还是小于 \(9^{1/3}\)；ii) 该值大于还是小于前一步 \(x_{k-1}\)。在 \(f(x) = x^3 - 9\) 的图像上说明原因。
- c) 求 \(9^{1/3}\) 的二次近似，并估计二次近似与精确值的差。提示：利用 \(9 = 8(1 + \frac{1}{8})\)。
公式与已知条件
- 目标：\(9^{1/3}\)
- 初值：\(x_0 = 2\)
- 改写：\(9 = 8(1 + \frac{1}{8})\)
解题入口对 \(f(x) = x^3 - 9\) 应用牛顿法；(c) 将 \(9^{1/3} = 2(1 + \frac{1}{8})^{1/3}\) 用二项式/泰勒展开。
完成后检查
- (a) 确认收敛到 6 位有效数字。
- (c) 验证二次近似的误差估计合理。
本题为官方题面翻译。
来源：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 2
题目 6
星形线（续）（附加分）
星形线 · 直线交点 · 隐函数求导 · 相关变化率 · 扫掠区域边界的极限
官方题面翻译可离线作答
直接从扫掠性质推导第 2 题星形线的方程。将第一象限建模为以墙面为正 y 轴、地面为正 x 轴的区域。一架单位长度的梯子初始时垂直靠墙，滑动至水平过程中顶端被拖向原点，扫出一片区域。
- a) 设 \(L_1\) 为从 \((0, y_1)\) 到 \((x_1, 0)\) 的线段，\(L_2\) 为从 \((0, y_2)\) 到 \((x_2, 0)\) 的线段。求两线段交点 \((x_3, y_3)\) 关于参数 \(x_1, x_2, y_1, y_2\) 的表达式，并尽量化简。可选自检：i) 若 \(y_2 = 0\) 则 \(x_3 = x_1\)；ii) 交换 \(x\) 与 \(y\) 的对称性；iii) 分母为零对应两直线平行；iv) 所有变量同乘 \(c\) 时，交点坐标也应同乘 \(c\)，即公式为一次齐次。
- b) 写出含 \(x_2\) 和 \(y_2\) 的方程，表达梯子 \(L_2\) 长度为 1 的约束。固定 \(L_1\)，令 \(L_2\) 趋近 \(L_1\)：\(x_2 = x_1 + \Delta x\), \(y_2 = y_1 + \Delta y\)。用隐函数求导（相关变化率）求 \(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 作为 \(x_1, y_1\) 的函数。
- c) 将 \(x_2 = x_1 + \Delta x\), \(y_2 = y_1 + \Delta y\) 代入 (a) 的 \(x_3\) 表达式，利用 (b) 计算 \(X = \lim_{x_2 \to x_1} x_3 = \lim_{\Delta x \to 0} x_3\)。化简，并由对称性推出 \(Y = \lim_{x_2 \to x_1} y_3\)。
- d) 证明 \(X^{2/3} + Y^{2/3} = 1\)。
公式与已知条件
- 梯子长度 = 1
- \(L_1\)：从 \((0, y_1)\) 到 \((x_1, 0)\) 的线段
- \(L_2\)：从 \((0, y_2)\) 到 \((x_2, 0)\) 的线段
- \(x_2 = x_1 + \Delta x\), \(y_2 = y_1 + \Delta y\)
解题入口(a) 由两直线方程推导交点；(b) 对长度约束求导；(c) 利用相关变化率斜率取极限；(d) 合并参数表达式。
完成后检查
- (a) 验证四条可选自检。
- (d) 验证所得关系恰为星形线方程。
本题为官方题面翻译。
来源：study_materials/bf58b1abae6a98338bd60431c1fe0f26_ps3.pdf · 2–3
来源与改编说明
- 来源说明：第 I 部分教材练习（2C-1, 2, 5, 11, 13；2E-2, 3, 5, 7）的原题面未在本地资料中完整给出；本页已在“第 I 部分：第 11–14 讲预备练习”中提供自包含的站内等价练习，非 MIT 原题。
- 来源说明：第 II 部分第 1a 题（4.3/28）与第 1b 题（4.4/28）的教材原题未在本地资料中完整给出，已依据课程主题设计为自包含的站内等价练习，非 MIT 原题。
- 来源说明：第 2 题所引教材第 114 页习题 45 的题面未在本地资料中完整给出，但第 2 题本身已给出完整条件。
- 来源说明：第 3a 题引用的习题集 1 第 II 部分第 2 题题面未在本地资料中完整给出，但第 3a 题已给出所需关系 \(L^2 + 20{,}000^2 = h^2\)。
参考资料与资源