MIT 18.01 · 第 16 课

微分方程：分离变量法

一个冷却中的物体、一棵倒下的树、一盏旋转的探照灯——变化率往往依赖于当前状态。微分方程描述这种关系，而分离变量法 (separation of variables) 是求解最简单一类微分方程的入门工具。

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这一课在课程中的位置

第 15 课引入了反导数 \(\int f(x)\,dx\)。这一课把反导数用于解未知函数是 x 的函数的方程——微分方程。分离变量法把形如 \(dy/dx=g(x)h(y)\) 的方程拆成两边各自积分，是微积分"互逆性"最直接的体现。

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什么是微分方程？

微分方程(differential equation) 是包含未知函数及其导数的方程。我们关心的是：找到满足该方程的函数 \(y(x)\)。

最简单的类型是一阶方程：

\[\frac{dy}{dx}=f(x,y).\]

可分离变量方程

若能写成

求解步骤

1. 把方程写成 \(\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)\)；
2. 分离：把含 y 的部分移到左边（连同 dy），含 x 的部分移到右边（连同 dx）：\(\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx\)（注意 \(h(y)\neq 0\)）；
3. 两边积分：\(\displaystyle\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx\)；
4. 解出 y（如果可能），并加上常数 C；
5. 用初始条件（如 \(y(0)=1\)）确定常数 C。

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例题：指数增长/衰减

\[\frac{dy}{dx}=ky\quad (k\text{ 为常数}).\]

分离：\(\dfrac{dy}{y}=k\,dx\)。两边积分：

\[\ln|y|=kx+C_1\;\Longrightarrow\; y=Ce^{kx}\quad(C=\pm e^{C_1}).\]

这是放射性衰变、连续复利、牛顿冷却定律的统一数学模型。

例题：牛顿冷却定律（复习题 11）

物体温度 T 的变化率与环境温差成正比：

\[\frac{dT}{dt}=-k(T-T_e),\quad T_e=100^\circ\text{(沸水)}.\]

设 \(u=T-T_e\)，则 \(du/dt=-ku\)，解得 \(u=Ce^{-kt}\)，即 \(T(t)=100+Ce^{-kt}\)。

由室温 \(T(0)=20\) 得 \(C=-80\)。再由 \(T(5)=30\) 定出 k，最后解 \(T(t)=60\) 求出"煮熟"所需时间。

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例题：\(dy/dx = xy + x\)（复习题 10）

\[\frac{dy}{dx}=x(y+1).\]

分离：\(\dfrac{dy}{y+1}=x\,dx\)。积分：

\[\ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+C_1\;\Longrightarrow\; y+1=Ce^{x^2/2}.\]

由 \(y(0)=1\) 得 \(1+1=C\Rightarrow C=2\)，故

\[y(x)=2e^{x^2/2}-1.\]

例题：\(dx/dt = 2t\sqrt{1-x^2}\)（复习题 5b）

\[\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=2t\,dt.\]

积分：\(\arcsin x = t^2 + C\)。由 \(x(0)=1\) 得 \(\arcsin 1=\pi/2=C\)，故

\[x(t)=\sin\!\left(t^2+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(t^2).\]

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常见误区与边界情况

• 忘记检查 \(h(y)=0\) 的特解：分离时除以 \(h(y)\) 可能丢掉常数解。
• 忘记用初始条件定常数：不定积分会留下任意常数 C，必须用初始条件确定，否则只是一族解。
• 积分后忘记取指数/反函数：积出 \(\ln|y|\) 后要取指数才能解出 y。
• 定义域问题：解中可能出现 \(\arcsin\)、\(\ln\) 等，要注意自变量的取值范围使解有意义。
• 不是所有方程都能分离：\(dy/dx=x+y\) 就不能直接分离，需要其他方法（后续课程）。

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知识检查

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本课要点

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参考资料

• Simmons 相关章节——微分方程与分离变量法
• 复习题 5b、10、11——分离变量法的典型练习

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