MIT 18.01 · Problem Set 2

Problem Set 2：链式法则、隐函数与逼近

本作业分 2A、2B 两半，覆盖 Lecture 5–11：隐函数求导与反函数、指数/对数微分、双曲函数、线性与二次逼近、曲线绘图，以及一个把球面帽面积与高尔夫球面近似融为一体的建模题。建议在 Exam 1 之前就完成 2A。

类型：Problem Set 2（2A + 2B） 截止：2006-09-29 13:55 覆盖：Lecture 5, 6, 9, 10, 11

学习目标

前置知识

结构说明

主题梳理与示例

1. 链式法则与高阶导数（2A/2）

计算 \(\frac{d}{dx}\tan^3(x^4)\)：从外到内逐层剥离：

\[\frac{d}{dx}\tan^3(x^4)=3\tan^2(x^4)\cdot\sec^2(x^4)\cdot 4x^3\]

第二小题 \(\frac{d}{dy}(\sin^2y\cos^2y)\) 要求两种做法：直接乘法法则，以及先改写为 \(f(2y)\) 再利用链式法则，验证结果一致。这是训练「化简优先于求导」的好例子。

2. 乘积法则的高阶推广（2A/3）

已知 \(y=uv\)，验证：

\[y''=u''v+2u'v'+uv'',\qquad y'''=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv'''\]

系数 \(1,2,1\) 与 \(1,3,3,1\) 恰好是二项式系数——这暗示着 Leibniz 公式 \((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}\)。

3. 反余弦导数与符号（2A/4）

设 \(y=\cos^{-1}x\)，则 \(\cos y=x\)，\(0\le y\le\pi\)。隐式微分：

\[-\sin y\cdot y'=1\quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{1}{\sin y}\]

由 \(\sin y\ge 0\)（\(y\in[0,\pi]\)），\(\sin y=\sqrt{1-x^2}\)，于是：

\[\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

符号是关键：\(\sin y\) 在 \([0,\pi]\) 非负，所以开根号取正。对比 \(\sin^{-1}x\) 的导数取 \(+1/\sqrt{1-x^2}\)，两者符号相反，因此 \(\frac{d}{dx}\cos^{-1}x+\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=0\)，这与 \(\cos^{-1}x+\sin^{-1}x=\pi/2\) 吻合。

4. 球面帽面积的逼近（2B/1）

球半径 \(R\)，截面圆半径 \(r\)，球心到截面距离 \(\sqrt{R^2-r^2}\)，所以球冠高：

\[h=R-\sqrt{R^2-r^2}\]

球冠面积（已知球面带面积公式 \(2\pi Rh\)）：

\[A=2\pi Rh=2\pi R^2\left(1-\sqrt{1-(r/R)^2}\right)\]

令 \(x=-(r/R)^2\)，则 \(\sqrt{1-(r/R)^2}=\sqrt{1+x}\)。用线性与二次逼近：

\[(1+x)^{1/2}\approx 1+\frac{x}{2},\qquad (1+x)^{1/2}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\]

代入得：线性逼近给出 \(A\approx \pi r^2\)（熟悉的圆面积），二次逼近给出更精确的值。高尔夫球题（\(R=1.5\) cm，凹槽半径 \(r=0.15\) cm，100 个）要求你比较「平面近似」「二次逼近」「精确公式」三种答案，判断竞赛要求的四舍五入精度下哪种足够。

这类「近似何时可用」的建模题是 18.01 的核心能力：先用泰勒展开得到误差量级，再代入具体数值验证。

5. 函数 \(1/(1+x^2)\) 的图像族（2B/2）

在同一坐标系下画 \(f(x)=1/(1+x^2)\)、\(f'(x)=-2x/(1+x^2)^2\)、\(f''(x)=(6x^2-2)/(1+x^2)^3\)，标出极值点 \((0,1)\) 与拐点 \((\pm 1/\sqrt{3},\,3/4)\)，并用竖直线把特殊点对齐到导数图像上。这是训练「从 \(f\) 的图像读出 \(f'\) 的符号与 \(f''\) 的拐点」的标准练习。

常见坑

知识检查

问题 1：\(\displaystyle \frac{d}{dx}\cos^{-1}x\) 等于？

问题 2：球冠面积 \(A=2\pi R^2(1-\sqrt{1-(r/R)^2})\) 的线性（最低阶）逼近是？

问题 3：若 \(y=uv\)，则 \(y'''\) 的系数排列是？

自测小结

隐函数求导

反三角函数导数靠隐式微分 + 值域判号。

对数微分

多因子乘积/幂先取对数，化乘为加再求导。

逼近

\((1+x)^{1/2}\) 的线性/二次逼近给出球冠面积的粗略/精细估计。

Leibniz 公式

\((uv)^{(n)}\) 的系数是二项式系数。

完整题目清单

共 11 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

  • 习题集 2 分为两部分：2A（提前发布，用于备考第一次测验）和 2B（测验时或测验前一天发布）；两部分均须于 2006 年 9 月 29 日（周五）下午 1:55 前提交。
  • 2A 第一部分（15 分）与 2A 第二部分（30 分）；2B 第一部分（10 分）与 2B 第二部分（16 分 + 3 分附加分）。
  • 答题要求：请独立解答各题的各小问。若经协作讨论，解答仍须独立撰写。严禁参考以往学期的材料。

覆盖范围

  • 隐函数求导与反函数
  • 指数与对数：定义、代数运算、应用、导数
  • 对数求导法
  • 双曲函数
  • 线性逼近与二次逼近
  • 曲线描绘
  • 极大值与极小值问题
题目 Part I PS2A 与 PS2B 补充练习（按讲座排列） implicit differentiation · inverse functions · exponentials · logarithms · logarithmic differentiation · hyperbolic functions · linear approximation · quadratic approximation · curve-sketching · maximum-minimum problems
站内等价练习可离线作答

本部分为按讲座排列的站内等价练习，覆盖隐函数求导、反函数、指数与对数、对数求导法、线性与二次逼近、曲线描绘以及最优化等主题的核心训练目标。所有题目均依据课程进度与知识点自行设计，非 MIT 原题。

  1. a) 2A 第 5 讲（隐函数求导；反函数）：设方程 \(x^3 + y^3 = 6xy\) 确定 \(y\) 为 \(x\) 的函数，求 \(\frac{dy}{dx}\)。
  2. b) 2A 第 5 讲：设方程 \(x^2 + xy + y^2 = 7\) 确定 \(y\) 为 \(x\) 的函数，求 \(\frac{dy}{dx}\)，并求在点 \((2,1)\) 处的切线方程。
  3. c) 2A 第 5 讲：设 \(f(x) = x^3 + x - 1\)，其反函数为 \(g(y)\)。已知 \(f(1) = 1\)，求 \(g'(1)\)。
  4. d) 2A 第 5 讲：求下列函数的导数：(i) \(y = \sin(3x)\)；(ii) \(y = \cos(x^2)\)；(iii) \(y = \sec(2x)\)。
  5. e) 2A 第 6 讲（指数与对数）：求 \(\frac{d}{dx}e^{5x}\)。
  6. f) 2A 第 6 讲：求 \(\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4)\)。
  7. g) 2A 第 6 讲：求 \(\frac{d}{dx}3^{x^2}\)。
  8. h) 2A 第 6 讲：求 \(\frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1)\)。
  9. i) 2A 第 6 讲：设 \(y = \frac{e^x}{x^2+1}\)，求 \(y'\)。
  10. j) 2A 第 6 讲：求解方程 \(\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln(5)\)。
  11. k) 2A 第 7 讲（对数求导法）：利用对数求导法求 \(y = x^{\sin x}\) \((x>0)\) 的导数。
  12. l) 2A 第 7 讲：利用对数求导法求 \(y = \frac{(x+1)^3(x-2)^2}{(x^2+1)^4}\) 的导数。
  13. m) 2A 第 7 讲：利用对数求导法求 \(y = (\ln x)^x\) \((x>1)\) 的导数。
  14. n) 2B 第 9 讲（线性逼近与二次逼近）：求 \(f(x) = \sqrt{x}\) 在 \(x=4\) 处的线性逼近，并用它近似 \(\sqrt{4.1}\)。
  15. o) 2B 第 9 讲：求 \(f(x) = \sin x\) 在 \(x=0\) 处的线性逼近与二次逼近，并用它们近似 \(\sin(0.1)\)。
  16. p) 2B 第 9 讲：求 \(f(x) = e^x\) 在 \(x=0\) 处的二次逼近，并用它近似 \(e^{0.2}\)。
  17. q) 2B 第 9 讲：求 \(f(x) = \ln(1+x)\) 在 \(x=0\) 处的线性逼近与二次逼近。
  18. r) 2B 第 9 讲：求 \(f(x) = \frac{1}{1+x}\) 在 \(x=0\) 处的线性逼近，并用它近似 \(\frac{1}{1.05}\)。
  19. s) 2B 第 10 讲（曲线描绘）：描绘函数 \(f(x) = \frac{x}{1+x^2}\) 的图像，标注临界点、极值、拐点和渐近线。
  20. t) 2B 第 10 讲：描绘函数 \(f(x) = e^{-x^2}\) 的图像，标注临界点、极值、拐点和渐近线。
  21. u) 2B 第 10 讲：描绘函数 \(f(x) = \frac{x^2}{x-1}\) 的图像，标注临界点、极值、拐点和渐近线。
  22. v) 2B 第 10 讲：描绘函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) 的图像，标注临界点、极值和拐点。
  23. w) 2B 第 10 讲：描绘函数 \(f(x) = \frac{e^x}{x}\) 的图像，标注临界点、极值、拐点和渐近线。
  24. x) 2B 第 11 讲（极大值与极小值问题）：求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\) 在区间 \([0,4]\) 上的最大值与最小值。
  25. y) 2B 第 11 讲：求函数 \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) \((x>0)\) 的最小值。
  26. z) 2B 第 11 讲：一个长方体容器，底面为正方形，体积为 32 cm³。求使表面积最小时的底面边长。

公式与已知条件

  • 隐函数求导：对方程两边关于 \(x\) 求导，将 \(y\) 视为 \(x\) 的函数，解出 \(\frac{dy}{dx}\)。
  • 反函数导数：若 \(y=f(x)\) 且 \(f\) 可逆，则 \((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\)。
  • \(\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u'\)
  • \(\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}\)（\(u>0\)）
  • \(\frac{d}{dx}a^{u}=a^{u}\ln a\,u'\)（\(a>0\)）
  • \(\frac{d}{dx}\log_a u=\frac{u'}{u\ln a}\)
  • 乘法法则：\((uv)'=u'v+uv'\)
  • 商法则：\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
  • 对数求导法：对 \(y=f(x)\) 取对数得 \(\ln y=\ln f(x)\)，两边求导得 \(\frac{y'}{y}=\frac{f'(x)}{f(x)}\)。
  • 线性逼近：\(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\)
  • 二次逼近：\(Q(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2\)
  • 临界点：\(f'(x)=0\) 或 \(f'(x)\) 不存在的点
  • 拐点：\(f''(x)=0\) 且凹凸性改变的点
解题入口

隐函数求导先明确函数关系再对方程两边求导；指数与对数求导注意使用乘法/商法则；对数求导法适用于幂指函数或复杂乘积；逼近题先识别小量再选取展开点与阶数；曲线描绘先求一阶、二阶导数再分析单调性与凹凸性；最优化问题先求临界点再比较端点值。

完成后检查

  • 隐函数求导结果已化简
  • 指数与对数求导法则应用正确
  • 对数求导步骤完整且定义域已考虑
  • 逼近公式正确代入数值
  • 曲线描绘已标注所有特殊点
  • 最优化问题已比较临界点与端点值

来源说明：原题仅列出教材与补充笔记练习编号，未提供具体题面。本题依据课程进度与知识点（隐函数求导、反函数、指数与对数、对数求导法、线性与二次逼近、曲线描绘、最优化）自设为站内等价练习，明确标注为非官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/dc08c2bdfb6ed8ef96e4560d6391f1d6_ps2a.pdf · 1-2

题目 2A-0 协作声明 academic integrity
官方题面翻译可离线作答

写下你曾咨询或协作的所有人的姓名，以及你所使用的资源；若无，请填「无」或「未咨询」。（详见 PS1 的完整说明。）（2 分）

解题入口

列出每位协作者（姓名或描述）及所使用的每项资源。

完成后检查

  • 协作者已按姓名或描述列出
  • 资源已逐项列出

来源说明：本题为官方题面翻译，协作政策与 PS1 一致。

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题目 2A-1 偶函数与奇函数及其导数的图像 graphing · even and odd functions · derivatives · slope estimation
站内等价练习可离线作答

在坐标系中绘制偶函数 \(f(x) = \cos x\) 与奇函数 \(g(x) = x^3 - x\) 的图像；在其正下方，分别绘制它们的导数图像。请利用斜率的估计作图，定性完成，不得使用导数公式（仅可用于验算）。允许使用计算器核验答案，但须在 2A-0 中注明。（注：测验时不得使用书籍、笔记或计算器，因此此处不建议依赖计算器。）（本次布置；4 分）

公式与已知条件

  • 偶函数：\(f(x) = \cos x\)，关于 y 轴对称
  • 奇函数：\(g(x) = x^3 - x\)，关于原点对称
  • 导数表示曲线上每点的切线斜率
解题入口

先定性描绘偶函数与奇函数的图像，再利用各点处的斜率估计画出对应的导数草图。

完成后检查

  • 偶函数图像关于 y 轴对称
  • 奇函数图像关于原点对称
  • 导数图像与斜率估计相符

来源说明：原题引用 PS1 第二部分第 1 题的奇偶分解结果，未提供具体函数。本题依据原题训练目标（偶函数与奇函数图像及导数估计）提供等价函数，明确标注为站内等价练习。

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题目 2A-2 导数计算 chain rule · product rule · trigonometric derivatives
官方题面翻译可离线作答

求下列函数的导数。（本次布置前完成；5 分）

  1. a) \(\frac{d}{dx}\tan^3(x^4)\)（2 分）
  2. b) \(\frac{d}{dy}(\sin^2 y\cos^2 y)\)（3 分）。要求用两种方法求解：首先使用乘法法则，再将其改写为 \(f(2y)\) 的形式求导。验证两种方法所得结果一致。

公式与已知条件

  • \(\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x\)
  • \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)
  • \(\sin^2 y\cos^2 y=\frac{1}{4}\sin^2(2y)\)（用于第二方法）
解题入口

(a) 逐层应用链式法则（幂函数、正切、\(x^4\)）；(b) 先用乘法法则，再利用 \(\sin(2y)=2\sin y\cos y\) 化简后再求导。

完成后检查

  • (a) 每一层复合都正确使用了链式法则
  • (b) 两种方法化简后结果一致

来源说明：本题为官方题面翻译，所有函数表达式均已给出。

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题目 2A-3 乘积的高阶导数 higher derivatives · product rule · Leibniz rule
官方题面翻译可离线作答

设两个可导函数之积 \(y=uv\)。（本次布置前完成；3 分）

  1. a) 若 \(y=uv\)，证明 \(y''=u''v+2u'v'+uv''\)。（1 分）
  2. b) 求 \(y'''\)。（2 分）

公式与已知条件

  • \(y=uv\)
  • \(y'=u'v+uv'\)
  • \(y''=u''v+2u'v'+uv''\)
  • 莱布尼茨法则：\((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}\)
解题入口

(a) 对 \(y'=u'v+uv'\) 逐项使用乘法法则；(b) 对 \(y''\) 逐项求导。

完成后检查

  • (a) 三项展开，中间项系数为 2
  • (b) \(y'''\) 展开为四项之和

来源说明：本题为官方题面翻译，所有公式条件均已给出。

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题目 2A-4 反余弦函数的导数 implicit differentiation · inverse trigonometric functions · derivatives
官方题面翻译可离线作答

反三角函数的导数。（周五布置；4 分）

  1. a) 函数 \(\cos^{-1}x\) 是 \(\cos\theta\) 在 \(0\le\theta\le\pi\) 上的反函数。利用隐函数求导推导 \(\frac{d}{dx}\cos^{-1}x\) 的公式，特别注意平方根的符号。（教材或课堂已给出反正弦的情形，可参照。）（3 分）
  2. b) 不通过计算，解释为什么 \(\frac{d}{dx}\cos^{-1}x+\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=0\)。（1 分）

公式与已知条件

  • \(\cos^{-1}x\) 的值域为 \(0\le\theta\le\pi\)
  • \(\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
  • 恒等式 \(\cos^{-1}x+\sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)
解题入口

(a) 令 \(y=\cos^{-1}x\)，则 \(\cos y=x\)，两边求导得 \(-\sin y\,dy/dx=1\)；在 \([0,\pi]\) 上 \(\sin y\ge 0\)。

完成后检查

  • (a) 由于 \(\sin y\ge 0\)，取正平方根
  • (b) 正确利用常数和恒等式求导

来源说明：本题为官方题面翻译，所需恒等式与反正弦导数公式均已给出。

来源：study_materials/dc08c2bdfb6ed8ef96e4560d6391f1d6_ps2a.pdf · 1

题目 2A-5 指数与对数习题（Simmons） exponentials · logarithms · derivatives · applications
站内等价练习可离线作答

下列习题覆盖指数、对数及其导数，对应 Simmons 教材 8.2 与 8.4 节的核心训练目标。本题系站内等价练习，根据课程阶段与知识点自行设计，非 MIT 原题。（周二 + 周四布置；10 分 = 2+2+2+2+2）

  1. a) 求 \(\frac{d}{dx}e^{3x}\cos(2x)\)（2 分）
  2. b) 求 \(\frac{d}{dx}\ln(\sqrt{x^2+1})\)（2 分）
  3. c) 求 \(\frac{d}{dx}x^3\,5^{x}\)（2 分）
  4. d) 设 \(y=x^x\ (x>0)\)，求 \(y'\)（2 分）
  5. e) 设 \(y=\frac{e^{2x}}{(x+1)^3}\)，求 \(y'\)（2 分）

公式与已知条件

  • \(\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u'\)
  • \(\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}\)
  • \(\frac{d}{dx}a^{u}=a^{u}\ln a\,u'\)（\(a>0\)）
  • 乘法法则：\((uv)'=u'v+uv'\)
  • 商法则：\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
解题入口

对含指数与对数的乘积或商，先判断使用乘法/商法则，必要时结合对数求导法处理幂指函数。

完成后检查

  • 每一步求导法则应用正确
  • 对数化简后再求导的结果与直接求导一致
  • 最终表达式已化简

来源说明：原题仅给出 Simmons 教材题号，未提供具体题面。本题依据课程进度与知识点（指数、对数、导数）自设为站内等价练习，明确标注为非官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/dc08c2bdfb6ed8ef96e4560d6391f1d6_ps2a.pdf · 1

题目 2A-6 利用对数求导法推导乘积公式 logarithmic differentiation · generalized product rule
依据本地资料重建可离线作答

利用对数求导法，由 PS1 第二部分第 7b 题的结论推导 \(D(u_1u_2\cdots u_n)\) 的表达式。（周四布置；2 分）

公式与已知条件

  • 设 \(y=u_1u_2\cdots u_n\)
  • 取对数得 \(\ln y=\sum_{i=1}^{n}\ln(u_i)\)（\(u_i>0\)）
  • 两边求导：\(\frac{y'}{y}=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i'}{u_i}\)
  • 结论：\(D(u_1\cdots u_n)=\sum_{i=1}^{n}(u_1\cdots u_i'\cdots u_n)\)
解题入口

对 \(y=u_1u_2\cdots u_n\) 两边取对数，利用对数把乘积化为求和，再两边求导并乘以 \(y\)。

完成后检查

  • 推导结果与 PS1 第 7b 题的归纳公式一致
  • 对数求导步骤完整

来源说明：本题依据本地资料重建，所引 PS1 第二部分第 7b 题的结论（推广乘法法则）已在上方公式条件中完整列出。

来源：study_materials/dc08c2bdfb6ed8ef96e4560d6391f1d6_ps2a.pdf · 2

题目 2B-0 协作声明 academic integrity
官方题面翻译可离线作答

写下你曾咨询或协作的所有人的姓名，以及你所使用的资源；若无，请填「无」或「未咨询」。（详见 PS1 的完整说明。）（2 分）

解题入口

列出每位协作者（姓名或描述）及所使用的每项资源。

完成后检查

  • 协作者已按姓名或描述列出
  • 资源已逐项列出

来源说明：本题为官方题面翻译，协作政策与 PS1 一致。

来源：study_materials/468108e2f758e1d415c6493e485d6478_ps2b.pdf · 1

题目 2B-1 高尔夫球（球冠） spherical caps · surface area · linear approximation · quadratic approximation · numerical approximation
官方题面翻译可离线作答

半径为 \(R\) 的球面上，相距为 \(h\) 的两个平行平面所截得的球面部分面积为 \(2\pi hR\)。球冠是指球面在某一水平切割平面上方的部分。（10 分 + 3 分附加分）

  1. a) 考虑在球心所在平面或其上方水平切割所得的球冠。先将球冠的高 \(h\) 用截面半径 \(r\) 与球半径 \(R\) 表示（即从截面平面到北极的竖直距离），再利用截面面积公式求出球冠面积。（2 分）
  2. b) 将面积公式用 \(R^2\) 与 \(r/R\) 表示。利用 \((1+x)^{1/2}\) 在 \(x=0\) 附近的线性逼近与二次逼近，求出当 \(r/R\) 较小时球冠面积的「较好」与「更好」的近似，并化简使线性逼近情形呈现为熟悉的形式。（4 分）
  3. c) 一只高尔夫球直径为 3 cm，表面有 100 个直径为 3 mm 的半球形凹坑。取 \(\pi\approx 3.14\)，将面积精确到最接近的 1/100 平方厘米。分别写出下列三种情形的表面积公式：(i) 圆盘近似；(ii) 由 (b) 得到的高阶近似；(iii) 精确公式。取 \(r=0.15\) 与 \(R=1.5\) cm 计算各值，并比较近似的精度。（4 分）
  4. d)（附加分 3 分）在所给直径下，100 个凹坑若要不重叠地放置是不可能的。试估计该高尔夫球上最多可容纳多少个凹坑。

公式与已知条件

  • 球面截段面积：\(A=2\pi hR\)
  • 高尔夫球直径：3 cm，半径 \(R=1.5\) cm
  • 凹坑直径：3 mm，半径 \(r=0.15\) cm
  • 凹坑数量：100
  • \(\pi\approx 3.14\)
  • \((1+x)^{1/2}\) 在 \(x=0\) 附近：线性逼近 \(1+\frac{x}{2}\)，二次逼近 \(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\)
解题入口

(a) 由几何关系得 \(h=R-\sqrt{R^2-r^2}\)，面积 \(A=2\pi hR\)；(b) 提取 \(R^2\) 并识别出小量 \(x\)，再代入 \((1+x)^{1/2}\) 的展开式。

完成后检查

  • (a) \(h=R-\sqrt{R^2-r^2}\) 几何关系正确
  • (b) 线性逼近化简后得到熟悉的简单公式
  • (c) 数值计算使用 \(\pi\approx 3.14\) 并四舍五入到 1/100

来源说明：本题为官方题面翻译，所有几何关系与数值数据均已给出。

来源：study_materials/468108e2f758e1d415c6493e485d6478_ps2b.pdf · 1-2

题目 2B-2 \(\frac{1}{1+x^2}\) 的图像 curve sketching · critical points · inflection points · derivatives
官方题面翻译可离线作答

绘制函数 \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) 的图像，在其正下方依次绘制 \(f'(x)\) 与 \(f''(x)\) 的图像。在 \(f\) 的图像上标注临界点与拐点的坐标，并用竖直线将 \(f\) 上的这些特殊点分别连接到下方图像中的对应点。（4 分）

公式与已知条件

  • \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)
  • \(f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\)
  • \(f''(x)=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\)
  • 临界点：\(x=0\)（\(f'(x)=0\)）
  • 拐点：\(x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)（\(f''(x)=0\)）
解题入口

先计算 \(f'(x)\) 与 \(f''(x)\)，找出它们为零或不存在的点，确定临界点与拐点坐标，再将三个图像竖直对齐绘制。

完成后检查

  • 临界点已标注坐标
  • 拐点已标注坐标
  • 竖直线将三个图像中的对应特殊点相连

来源说明：本题为官方题面翻译，函数表达式已完整给出。

来源：study_materials/468108e2f758e1d415c6493e485d6478_ps2b.pdf · 2

来源与改编说明

  • Simmons 8.2/8ac, 10, 11 与 8.4/18, 19a 的完整题面未在来源材料中提供，仅在 PS2A 第二部分第 5 题中被引用；本题已依据课程阶段与知识点设计为站内等价练习，明确标注为非官方原题。
  • PS1 第二部分第 1 题的奇偶分解结果未在来源材料中提供，仅在 PS2A 第二部分第 1 题中被引用；本题已依据原题训练目标提供等价函数，明确标注为站内等价练习。

参考资料与资源

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