隐函数求导
方程两边对 \(x\) 求导，遇 \(y\) 乘 \(y'\)，再解方程
MIT 18.01 · 第 5 课
很多函数关系由方程 \(F(x,y)=0\) 给出，无法（或不必）显式解出 \(y=f(x)\)。隐函数求导 (implicit differentiation) 让我们直接对方程两边求导，再解出 \(y'\)。这一技巧也是推导反函数导数的利器。
前四课已经能处理多项式、三角、指数、对数及它们的复合。本课进一步：用隐函数求导推导一般有理指数的幂法则、圆的切线，以及 \(\arctan x\)、\(\arcsin x\) 等反三角函数的导数。这些公式都将进入期中考试。
核心思想：把方程 \(F(x,y)=0\) 两边对 \(x\) 求导，把 \(y\) 视作 \(x\) 的函数，遇到 \(y\) 时用链式法则乘上 \(y'\)，最后关于 \(y'\) 解一次方程。
设 \(a=m/n\)（\(m,n\) 为整数），\(y=x^{m/n}\)，则 \(y^n=x^m\)。两边对 \(x\) 求导：
\[n y^{n-1} y' = m x^{m-1} \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{m x^{m-1}}{n y^{n-1}}\]代入 \(y=x^{m=n}\) 化简：
\[y'=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}\]于是幂法则 \(\frac{d}{dx}x^a=a x^{a-1}\) 对所有有理数 \(a\) 成立。
显式法：取正支 \(y=\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{1/2}\)，链式法则给出：
\[y'=\frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y}\]隐函数法：对方程 \(x^2+y^2=1\) 两边求导：
\[2x+2y\,y'=0\quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{x}{y}\]两种方法结果一致，但隐函数法避免了根式求导的繁琐，也自动包含了负支。
这里很难把 \(y\) 显式解出，隐函数法是唯一现实的选择：
\[3y^2 y' + y^2 + 2xy\,y'=0\]提取 \(y'\)：
\[y'(3y^2+2xy)=-y^2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y'=\frac{-y^2}{3y^2+2xy}}\]注意隐函数求导得到的 \(y'\) 往往同时包含 \(x\) 与 \(y\)，这是正常的——它反映了隐式关系本身。
设 \(y=f(x)\)，反函数 \(g=f^{-1}\) 满足 \(g(f(x))=x\)。用隐函数求推导数：
\[y=f(x),\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dy}f^{-1}(y)\cdot\frac{dy}{dx}=1\] \[\boxed{\frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}}\]设 \(y=\arctan x\)，则 \(\tan y=x\)。两边对 \(x\) 求导：
\[\sec^2 y\cdot y'=1\quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{1}{\sec^2 y}=\cos^2 y\]为把答案表成 \(x\) 的函数，借助直角三角形：若 \(\tan y=x\)，则邻边 \(1\)、对边 \(x\)、斜边 \(\sqrt{1+x^2}\)，于是 \(\cos y=1/\sqrt{1+x^2}\)：
\[\boxed{\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}}\]\(f\) 与 \(f^{-1}\) 的图像关于直线 \(y=x\) 对称，因为反函数只是把 \(x,y\) 角色互换。
问题 1：圆 \(x^2+y^2=1\) 上一点 \((x,y)\) 处切线斜率 \(\dfrac{dy}{dx}\) 为？
问题 2：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\arctan x\) 等于？
问题 3：用隐函数法求 \(y=x^{3/2}\) 的导数，结果是？
问题 4：方程 \(y^3+xy^2+1=0\) 确定的 \(y'=\)？
方程两边对 \(x\) 求导，遇 \(y\) 乘 \(y'\)，再解方程
\(\displaystyle\frac{d}{dx}x^{m/n}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}\)
\((f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}\)
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\)
\(f\) 与 \(f^{-1}\) 关于 \(y=x\) 对称
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