Problem Set 1：导数与极限

完成下列按讲座分组的练习，以便你具备每次讲座所需的背景知识。原 PDF 仅列出《补充笔记》中的练习编号，本站内容依据每次讲座的主题与课程阶段编写了等价练习，并非官方原题；所有题目均已给出完整题面，无需另行取得《补充笔记》原文即可作答。

1. 复习课 0（9 月 6 日周三）函数作图。 a) 求下列函数的定义域与奇偶性，找出所有零点、截距与渐近线，用表格列出其单调区间与局部极值，并据此画出函数的大致图像： 　(i) \(f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}\)； 　(ii) \(g(x) = x^3 - 3x\)。 b) 设 \(h(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}\)。求 \(h\) 的奇偶性、垂直与水平渐近线，并找出其递增与递减区间，画出 \(h\) 的大致图像。
2. 讲座 1（9 月 7 日周四）导数；斜率、速度、变化率。 a) 用导数的定义（差商的极限）计算 \(f(x) = x^2 + 1\) 在 \(x = 2\) 处的导数，并说明该导数的几何意义。 b) 一个质点沿直线运动，位移函数为 \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)（\(s\) 单位：米，\(t\) 单位：秒）。 　(i) 求质点在时间区间 \([1, 3]\) 上的平均速度； 　(ii) 求质点在 \(t = 1\) 时的瞬时速度； 　(iii) 求质点在 \(t = 1\) 时的瞬时加速度。 c) 观察函数 \(y = \sin x\) 在区间 \([0, 2\pi]\) 上的图像，指出在哪些点处切线水平、在哪些点处切线的斜率最大，并说明理由。
3. 讲座 2（9 月 8 日周五）极限与连续性；若干三角函数的极限。 a) 计算下列极限： 　(i) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)； 　(ii) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}\)； 　(iii) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)。 b) 设 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x \le 0 \\ \cos x, & x > 0 \end{cases}\)，问 \(a\) 取何值时 \(f\) 在 \(x = 0\) 处连续？ c) 利用夹挤定理证明 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x \cos\bigl(\frac{1}{x}\bigr) = 0\)。 d) 若函数 \(f\) 在 \(x = a\) 处可导，利用导数的定义证明 \(f\) 在 \(x = a\) 处连续。
4. 讲座 3（9 月 12 日周二）求导公式：乘积与商。 a) 用乘积法则求下列函数的导数： 　(i) \(y = x^2 \sin x\)； 　(ii) \(y = (x^3 + 1)(e^x - x)\)。 b) 用商法则求下列函数的导数： 　(i) \(y = \dfrac{\tan x}{x}\)； 　(ii) \(y = \dfrac{x+1}{x-1}\)。 c) 求曲线 \(y = \dfrac{x+1}{x-1}\) 上切线斜率为 \(-\dfrac{1}{2}\) 的所有点，并写出对应的切线方程。
5. 讲座 4（9 月 14 日周四）链式法则；高阶导数。 a) 用链式法则求下列函数的导数： 　(i) \(y = e^{x^2 + 1}\)； 　(ii) \(y = \ln(\cos x)\)； 　(iii) \(y = \arctan(3x)\)。 b) 求下列函数的二阶导数 \(y''\)： 　(i) \(y = \sqrt{1 + x^2}\)； 　(ii) \(y = \sin^2 x\)。 c) 设 \(y = e^{x^2}\)，求 \(y''\)，判断曲线的凹凸性，并说明是否存在拐点。
6. 讲座 5（9 月 15 日周五）隐函数求导；反函数。 a) 利用隐函数求导法求下列方程所确定的 \(y\) 对 \(x\) 的导数 \(y'\)： 　(i) \(x^2 + y^2 = 25\)； 　(ii) \(x^2 + 4y^2 = 16\)。 b) 求椭圆 \(x^2 + 4y^2 = 16\) 上切线水平的所有点，并写出对应的切线方程。 c) 设 \(y = \arctan x\)，借助关系式 \(x = \tan y\) 及隐函数求导法推导 \(y'\) 关于 \(x\) 的表达式。 d) 设 \(f\) 可逆且其反函数 \(f^{-1}\) 可导，证明：\((f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}\)，并据此求 \(y = \arctan x\) 在 \(x = 1\) 处的导数。

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写下你咨询或协作的所有人员姓名以及你使用的所有资源，或注明『无』或『未咨询』。包括课外向复习课指导教师的咨询。若不知姓名，仍须识别该人（例如『二号楼 106 室的辅导员』『复习课中坐在我旁边的同学』）。可选：注明哪些人员或资源特别有帮助。（3 分）

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将 \(\frac{x-1}{x+1}\) 表示为一个偶函数与一个奇函数之和。尽可能化简。（周三，3 分）

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设 \(f\) 是 \(x\) 的函数。若 \(x = x_0 + \Delta x\)，则 \(\Delta f = f(x) - f(x_0)\)，比值 \(\Delta f/\Delta x\) 衡量 \(x\) 的变化对 \(f\) 的影响。Quirk 星球是平的。GPS 卫星悬停在 \(20\,000\ \text{km}\) 的高空。已知卫星到地表某点的距离 \(h\)（\(h\) 为斜边），估算卫星正下方地面点与该点之间的距离 \(L\)。（周四，6 分）

1. a) 用计算器计算 \(h = h_0 \pm \Delta h = 25\,000 \pm \Delta h\)（其中 \(\Delta h = 1,\,10^{-1},\,10^{-2}\)）时的 \(\Delta L/\Delta h\)。写出一个估计式 \(|L - L_0| = |\Delta L| \le C|\Delta h|\)，选取对所有三种情况都成立的最简单整数 \(C\)。
2. b) 对 \(h = 20\,001 \pm \Delta h\)（\(\Delta h = 1,\,10^{-1},\,10^{-2}\)）重复上述计算。与 (a) 相比，\(L\) 的估计是更精确还是更不精确？

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在 Quirk 星球上，一座手机信号塔是一根 \(100\) 英尺高的竖杆，竖在一条绿色土丘顶端，土丘高 \(1000\) 英尺，其轮廓为抛物线 \(y = 1000 - x^2\)。一只蚂蚁从地面（\(y = 0\)）开始沿土丘向上爬。蚂蚁在什么高度 \(y\) 开始能看到信号塔？（周四，4 分）

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（站内等价练习）抛物面镜的重要光学性质是：从焦点发出的光线经镜面反射后平行于对称轴射出，该性质被用于卫星天线与聚光器。考虑抛物线 \(y = x^2/4\)，其焦点为 \(F(0,\,1)\)。 a) 证明：从焦点 \(F\) 发出的任意光线经抛物线上任一点 \(P(x,\,x^2/4)\) 反射后，反射光线平行于 \(y\) 轴（即平行于抛物线的对称轴）。 b) 利用 (a) 的结论，解释为何卫星天线要把接收器放在焦点位置。

站内等价练习。原资料仅给出『Simmons 3.1/21（抛物面镜）』题号，未提供完整题面与图示；现依据课程阶段与 topics 重建为自包含的等价练习，非官方原题。

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一台冷饮机漏水，其在 \(t\) 分钟时的水量为 \(V(t) = (10 - t)^2 / 5\) 升。（周四，4 分）

1. a) 求水在前 5 分钟内排出的平均速率。
2. b) 求排水开始 5 分钟后水的排出速率。

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（站内等价练习）计算下列极限，需要写出过程的题目请写出完整推导。这些题目训练极限计算技巧，包括重要极限、等价无穷小、有理化和夹挤定理。

1. a) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)
2. b) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\tan(5x)}\)
3. c) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\)（提示：利用泰勒展开或多次应用洛必达法则）
4. d) \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\)（提示：令 \(u = \sqrt{x}\)）
5. e) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigl(\sqrt{x^2 + 1} - x\bigr)\)（需写出过程）
6. f) \(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} x \sin\bigl(\frac{1}{x}\bigr)\)（可使用计算器观察趋势）
7. g) 设函数 \(f\) 在 \(x = a\) 处可导，证明 \(f\) 在 \(x = a\) 处连续

站内等价练习。原资料仅给出 Simmons 2.5/19d, 19f, 19g, 20c, 20g, 22a, 22b 等题号，未提供完整题面；现依据第 2.5 节极限计算技巧与课程阶段重建为自包含的等价练习，非官方原题。

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多个函数的乘积的乘积法则。（周二，6 分）

1. a) 若 \(u\)、\(v\)、\(w\) 均为可微函数，求它们的乘积的导数公式 \(D(uvw)\)。
2. b) 将 (a) 的工作推广：猜想 \(n\) 个可微函数乘积的导数公式 \(D(u_1 u_2 \cdots u_n)\)，并用数学归纳法证明你的公式（假设公式对 \(n\) 个函数成立，证明对 \(n+1\) 个函数成立）。

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