MIT 18.01 · 第 9 课

线性逼近与二次逼近

进入 Unit 2「导数的应用」。核心想法：在一点附近，用切线（线性）或密切抛物线（二次）近似复杂函数。本课建立基本近似公式，并通过代数组合与物理实例（GPS 卫星的相对论修正）展示其威力。

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这一课在课程中的位置

Unit 1 解决了「怎么求导」。Unit 2 开始回答「求导有什么用」。线性与二次逼近是导数最直接的几何应用，也是后续泰勒展开的雏形。补充材料 study_materials_a_approximations.pdf 给出更系统的代数推导（几何级数、二项式定理视角）。

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线性逼近 (Linear Approximation)

在 \(x_0\) 附近，用切线近似函数：

\[\boxed{f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}\]

离 \(x_0\) 越远，近似越差。

基本线性近似表（基点 \(x_0=0\)，\(|x|\ll 1\)）

1. \(\sin x\approx x\)
2. \(\cos x\approx 1\)
3. \(e^x\approx 1+x\)
4. \(\ln(1+x)\approx x\)
5. \((1+x)^r\approx 1+rx\)

证明都是同一个模式：对 \(f\) 计算 \(f(0),f'(0)\)，代入 \(f(0)+f'(0)x\)。例如 (5)：\(f(x)=(1+x)^r,\ f(0)=1,\ f'(0)=r\)，故 \((1+x)^r\approx 1+rx\)。

例 1：\(\ln x\) 在 \(x_0=1\)

\(\ln 1=0,\ (\ln x)'|_{x=1}=1\)，故 \(\ln x\approx 0+1\cdot(x-1)=x-1\)。令 \(u=x-1\) 即得经典形式：

\[\boxed{\ln(1+u)\approx u\quad(u\approx 0)}\]

例 2：组合近似——\(\displaystyle f(x)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{1+x}}\) 在 \(x=0\) 附近

不直接求导，而是把每个因子用基本近似代换：

\[e^{-2x}\approx 1-2x,\qquad \sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}\approx 1+\frac{x}{2}\]

因此：

\[\frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1}\approx 1-\frac{x}{2}\]

相乘并丢弃 \(x^2\) 及以上项：

\[f(x)\approx (1-2x)\left(1-\frac{x}{2}\right)\approx 1-\frac{5}{2}x\]

由此直接读出 \(f(0)=1,\ f'(0)=-5/2\)，比求导更快捷。

例 3：用线性近似求极限

Exam 1 难题 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+2x)^{10}-1}{x}\)。线性近似：

\[(1+2x)^{10}\approx 1+10\cdot(2x)=1+20x\quad\Longrightarrow\quad \frac{(1+2x)^{10}-1}{x}\approx 20\]

这与用导数定义（\(=f'(0)=20\)）的结果一致。

例 4（应用）：Planet Quirk 的相对论时间膨胀

卫星以速度 \(v\) 掠过，相对论给出：

\[T'=T\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}\]

因 \(v\ll c\)，用 \((1+u)^r\approx 1+ru\)（\(u=-v^2/c^2,\ r=-1/2\)）：

\[T'\approx T\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)\]

取 \(v=4\ \text{km/s},\ c=3\times10^5\ \text{km/s}\)，则 \(v^2/c^2\approx 10^{-10}\)。这个微小修正正是 GPS 卫星频率校准的核心。

二次逼近 (Quadratic Approximation)

当精度要求更高时，加入二阶项，得到最佳拟合抛物线：

\[\boxed{f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2}\]

系数 \(\frac{f''(x_0)}{2}\) 的「\(\frac12\)」是为了让二次函数 \(a+bx+cx^2\) 的逼近精确成立（此时 \(f''=2c\)，故 \(c=f''/2\)）。

基本二次近似表（基点 \(x_0=0\)，\(|x|\ll 1\)）

1. \(\sin x\approx x\)（无 \(x^2\) 项，因 \(\sin\) 是奇函数）
2. \(\cos x\approx 1-\dfrac{x^2}{2}\)
3. \(e^x\approx 1+x+\dfrac{x^2}{2}\)
4. \(\ln(1+x)\approx x-\dfrac{x^2}{2}\)
5. \((1+x)^r\approx 1+rx+\dfrac{r(r-1)}{2}x^2\)

例 5：\(\displaystyle f(x)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{1+x}}\) 的二次逼近

改写 \(f(x)=e^{-2x}(1+x)^{-1/2}\)，分别用二次近似：

\[e^{-2x}\approx 1-2x+2x^2,\qquad (1+x)^{-1/2}\approx 1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2\]

相乘并保留到 \(x^2\)：

\[f(x)\approx 1-\frac{5}{2}x+\frac{27}{8}x^2\]

所有 \(x^3\) 及以上项都被丢弃。

Planet Quirk 的二次修正

把二次逼近用于时间膨胀：

\[T'\approx T\left(1+\frac{v^2}{2c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\right)\]

当 \(v/c\sim 10^{-5}\)，\(v^4/c^4\sim 10^{-20}\)，连最精密的原子钟都测不出，因此实际工程中用线性项已足够。

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常见误区与边界情况

• 忘了二次逼近的 \(\frac12\) 因子：\(f''/2\) 不是 \(f''\)，这是最常见的计算错误。
• 组合近似时精度不一致：若一部分只取线性，整体二次项就会被「污染」而错误——每一项都要展开到相同阶数。
• 在远离基点的地方滥用线性近似：\(\sin x\approx x\) 只在 \(x\approx 0\) 有效，\(x=0.5\) 时误差已明显。
• 把二次逼近与二阶导数测试混淆：这里是用 \(f''\) 来改进近似，不是判断凹凸或极值。
• 丢弃项时不注意高阶项累积：多个因子相乘时，每个因子被丢弃的高阶项可能组合成当前阶的项，需系统处理。

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知识检查

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本课要点

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参考资料

• Lecture 9 完整板书：lecture_notes_lec9.pdf
• 补充讲义：study_materials_a_approximations.pdf（几何级数与二项式视角的严格推导）
• 参考教材 §2A（线性与二次逼近）

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