形状语言
f′ 管升降，f″ 管凹凸
MIT 18.01 · 第 10 课
仅凭一支笔和函数 f 及其前两阶导数的信息，就能把一条曲线的形状完整画出来——哪里上升、哪里下降、哪里弯折、在哪里逼近哪条直线。这是微分学最综合的应用之一，也是后续优化问题的绘图基础。
你已经掌握了求导法则（积、商、链式）、隐函数求导，以及一阶/二阶导数的含义。这一课把所有工具整合成一个系统流程：用 f 找截距与定义域，用 f′ 找单调区间与极值，用 f″ 找凹凸区间与拐点，再加上渐近线，就能可靠地徒手画出函数的图像。它是第 11 课（最大值与最小值问题）和第 17 课（第二次期中考试）的核心技能。
核心思路：导数就是图像的"形状语言"。
f′(x) 的符号决定 f 的升降；f″(x) 的符号决定 f 的凹凸（弯曲方向）。
| 观察到的符号 | f 的几何含义 |
|---|---|
| \(f'(x) > 0\) | f 在 x 处上升（图像从左下到右上） |
| \(f'(x) < 0\) | f 在 x 处下降（图像从左上到右下） |
| \(f'(x) = 0\) 或不存在 | 可能的临界点(critical point)——局部极值的候选 |
| \(f''(x) > 0\) | f 在 x 处上凹/凸向上(concave up)——像碗口朝上 |
| \(f''(x) < 0\) | f 在 x 处下凹/凸向下(concave down)——像帽子朝下 |
| \(f''(x) = 0\) 且变号 | 可能的拐点(inflection point)——凹凸性改变的点 |
满足 \(f'(x) = 0\) 或 \(f'(x)\) 不存在的点称为临界点。临界点不一定是极值（例如 \(f(x)=x^3\) 在 \(x=0\) 处），需要用下面的检验法判定。
看 f′ 在临界点两侧的符号变化：
若 \(f'(c) = 0\) 且 f″ 在 c 处连续：
注意：\(f''(c)=0\) 并不保证 c 是拐点，必须 f″ 在 c 两侧变号才算。例如 \(f(x)=x^4\)，\(f''(0)=0\)，但 x=0 两侧 f″ 都为正，不是拐点，而是极小值点。
若在 \(x = a\) 处 \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)\) 或 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)\) 为 \(\pm\infty\)，则直线 \(x=a\) 是垂直渐近线。对有理函数，这通常出现在分母为零而分子不为零的点。
若 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = L\) 或 \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = L\)（L 为有限数），则 \(y=L\) 是水平渐近线。
斜渐近线（slant/oblique asymptote）：当 x→∞ 时，若 \(f(x) - (mx+b) \to 0\)（其中 \(m = \lim f(x)/x \neq 0\)，\(b=\lim (f(x)-mx)\)），则 \(y=mx+b\) 是斜渐近线。18.01 期中重点考察垂直与水平两种。
一个被验证有效的七步法：
这个函数（与作业 2B 第 2 题同类）是练习 f / f′ / f″ 作图的经典例子。
定义域为全体实数（分母 \(1+x^2\) 永不为零），故没有垂直渐近线。\(f(0)=1\)。分子恒为 1 故无 x 截距。
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1+x^2} = 0,\]
所以 \(y=0\) 是双侧水平渐近线。又 \(f(-x)=f(x)\)，是偶函数，只需画 \(x\ge 0\) 再对称过去。
\[f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}.\]
临界点：\(x=0\)。当 \(x>0\) 时 \(f'<0\)（下降），\(x<0\) 时 \(f'>0\)（上升）。由一阶导数检验，\(x=0\) 是局部（也是全局）极大值，极大值为 \(f(0)=1\)。
对 f′ 再求导：
\[f''(x) = \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3} = \frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}.\]
令 \(f''(x)=0\) 得 \(x=\pm 1/\sqrt{3}\)。分母恒正，符号由分子 \(3x^2-1\) 决定：
在 \(x=\pm 1/\sqrt{3}\) 处 f″ 变号，故这两点是拐点，纵坐标 \(f(\pm 1/\sqrt{3}) = 3/4\)。
综合以上：图像关于 y 轴对称；在 \(x=0\) 取极大值 1；在 \(x=\pm 1/\sqrt{3}\approx \pm 0.577\) 处穿过拐点，凹凸性翻转；向左右两侧以 \(y=0\) 为水平渐近线趋于 0。这是一条光滑的"钟形"曲线（柯西分布核）。
（期中复习题风格）
\[f'(x) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2-1),\qquad f''(x) = 60x^3 - 30x = 30x(2x^2-1).\]
临界点：\(x=0,\pm 1\)。f″ 零点：\(x=0,\pm 1/\sqrt{2}\)。列表讨论符号可得：\(x=-1\) 为局部极小，\(x=1\) 为局部极小，\(x=0\) 不是极值（f′ 不变号）；拐点在 \(x=0,\pm 1/\sqrt{2}\)。无渐近线（多项式）。据此可完整画图。
问题 1：确认一点是拐点的充分条件是什么？
问题 2：若 \(f'(3)=0\)，且 f′ 在 3 左侧为正、右侧为负，则 x=3 是什么点？
问题 3：已知 \(f'(2)=0\)，\(f''(2) = -4\)。关于 x=2 能得出什么结论？
问题 4：作有理函数图像时，渐近线的正确做法是？
f′ 管升降，f″ 管凹凸
\(f'=0\) 或不存在，只是极值候选
一阶导数检验看符号变化，二阶导数检验看 f″(c) 符号
f″ 变号，不是 f″=0
垂直看分母零点，水平看无穷极限
定义域→截距→渐近线→f′→f″→特值点→连线