MIT 18.01 · 第 6 课

指数与对数，对数求导法，双曲函数

本课引入自然常数 \(e\)、自然对数 \(\ln x\)，推导 \((a^x)'=\ln(a)\,a^x\) 与 \((\ln x)'=1/x\)，并以对数求导法 (logarithmic differentiation) 处理「动指数」函数如 \(x^x\)。

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这一课在课程中的位置

前几课已经能处理多项式、三角、反三角及它们的复合。本课补上最后一块基础函数——指数与对数，并引入对数求导这一强大技巧。第 7 课将在此基础上做第一次期中复习。补充材料 study_materials_xxpnentl_lgrthm.pdf 给出了指数与对数的代数基础（pH、震级、放射性衰变等应用）。

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指数函数 \(a^x\) 的导数

设底数 \(a>1\)。由导数定义：

\[\frac{d}{dx}a^x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} =a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\]

定义关键常数：

\[\boxed{M(a)\equiv\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\frac{d}{dx}a^x\Big|_{x=0}}\]

则 \(\displaystyle\frac{d}{dx}a^x=M(a)\,a^x\)。\(M(a)\) 的几何意义是曲线 \(y=a^x\) 在 \(x=0\) 处的切线斜率。

定义自然常数 \(e\)

当底数 \(a\) 增大时，曲线 \(a^x\) 在 \(x=0\) 处越来越陡。用割线估计：

• \(a=2\)：过 \((0,1)\) 与 \((1,2)\) 的割线斜率为 \(1\)，故 \(M(2)<1\)。
• \(a=4\)：过 \((-1/2,\,1/2)\) 与 \((1,0)\) 的割线斜率为 \(1\)，故 \(M(4)>1\)。

因此唯一存在一个介于 2 与 4 之间的数 \(e\)，使得 \(M(e)=1\)。等价地：

\[\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{d}{dx}e^x=e^x}\]

自然对数 \(\ln x\) 的导数

\(\ln x\) 定义为 \(e^x\) 的反函数：\(y=\ln x\iff e^y=x\)。用隐函数求导：

\[e^y=x\quad\Longrightarrow\quad e^y\,y'=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}}\]

一般指数函数的导数

方法 1（化为 \(e\)）：\(a=e^{\ln a}\)，故 \(a^x=e^{x\ln a}\)。链式法则：

\[\boxed{\frac{d}{dx}a^x=\ln(a)\,a^x}\]

于是 \(M(a)=\ln(a)\)。即使底数是 10，自然对数也会出现：\(\frac{d}{dx}10^x=(\ln 10)\,10^x\)。

方法 2（对数求导法）：设 \(f=a^x\)，则 \(\ln f=x\ln a\)，两边求导：

\[\frac{f'}{f}=\ln a\quad\Longrightarrow\quad f'=f\ln a=a^x\ln a\]

对数求导法 (Logarithmic Differentiation)

例 1：\(\displaystyle\frac{d}{dx}x^x\)

设 \(f=x^x\)，则 \(\ln f=x\ln x\)。两边求导：

\[\frac{f'}{f}=\ln x+1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{d}{dx}x^x=x^x(\ln x+1)}\]

例 2：用对数求导法求极限 \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\)

令 \(b_k=(1+1/k)^k\)，考虑 \(\ln b_k=k\ln(1+1/k)\)。设 \(h=1/k\to 0\)：

\[\ln b_k=\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}\xrightarrow[h\to 0]{}\frac{d}{dx}\ln x\Big|_{x=1}=1\]

因此 \(\ln b_k\to 1\)，由连续性 \(b_k=e^{\ln b_k}\to e\)。我们得到 \(e\) 的极限定义：

\[\boxed{\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=e}\]

取 \(k=10\) 就给出相当好的 \(e\) 的近似值。

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常见误区与边界情况

• 把 \((a^x)'\) 写成 \(a^x\)：正确是 \(\ln(a)\,a^x\)，只有底数为 \(e\) 时才等于自身。
• 对数求导时忘记乘回 \(f\)：求出 \((\ln f)'\) 后必须乘上 \(f\) 才得到 \(f'\)。
• 把 \(x^x\) 当作幂函数或指数函数：它既不是 \(x^n\)（指数固定）也不是 \(a^x\)（底数固定），必须用对数求导或化为 \(e^{x\ln x}\)。
• 极限 \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}(1+1/k)^k\) 误认为 1：虽然底数趋于 1，但指数趋于无穷，二者「竞争」的结果是 \(e\)。

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知识检查

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本课要点

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参考资料

• Lecture 6 完整板书：lecture_notes_lec6.pdf
• 补充代数笔记：study_materials_xxpnentl_lgrthm.pdf（指数与对数、pH、震级、衰变）
• 参考教材 §4.1–4.4（指数函数、对数函数、对数求导）

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