加法
\((u+v)'=u'+v'\)
MIT 18.01 · 第 3 课
本课由 Kobi Kremnizer 讲授，系统建立求导的「工具箱」：加法法则、乘积法则 (product rule)、商法则 (quotient rule)，以及 \(\sin x\) 与 \(\cos x\) 的导数。这些法则是此后所有求导运算的语法。
第 1 课给出了导数的极限定义，第 2 课补上了三角极限 \(\sin\theta/\theta\to 1\)。本课在此基础上推导 \(\sin x\)、\(\cos x\) 的导数，并引入乘积与商法则，使我们对多项式、三角与它们的组合函数都能求导。这是期中考试公式表的核心内容。
求导公式分两类：具体（如 \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)）和一般（适用于任意可导函数 \(u(x),v(x)\)）。
证明直接由极限的线性性质得到：
\[(u+v)'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{[u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)]-[u(x)+v(x)]}{\Delta x} =u'(x)+v'(x)\]证明技巧是在分子中加减同一项 \(u(x+\Delta x)v(x)\)，再分组：
\[(uv)'=\lim_{\Delta x\to 0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\,v(x)+u(x+\Delta x)\,\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right]\]取极限并利用 \(u\) 的连续性（可导必连续）\(\lim_{\Delta x\to 0}u(x+\Delta x)=u(x)\)，即得结论。
面积直观：把 \(u,v\) 看作矩形的两边，面积 \(uv\) 的增量近似等于红、黄两个细条面积之和 \(u\Delta v+v\Delta u\)，白色小角 \(\Delta u\,\Delta v\) 是高阶无穷小。
记忆技巧：把 \(\frac{u}{v}=uv^{-1}\) 用乘积法则与链式法则展开即可推导。
先用第 2 课的三角极限计算在 \(x=0\) 处的值：
\[\frac{d}{dx}\sin x\Big|_{x=0}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1,\qquad \frac{d}{dx}\cos x\Big|_{x=0}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}=0\]对任意 \(x\)，用和角公式 \(\sin(x+\Delta x)=\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x\)：
\[\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =\sin x\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}+\cos x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\]取极限，利用 \(\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\to 1\)、\(\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}\to 0\)：
\[\boxed{\frac{d}{dx}\sin x=\cos x}\]类似可得：
\[\boxed{\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x}\]注意 \(\cos x\) 的导数带负号，这与双曲函数 \(\cosh x\) 导数为正 \(\sinh x\) 不同，下一课会看到对比。
问题 1：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x\sin x\bigr)\) 等于？
问题 2：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x\) 等于？
问题 3：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\) 等于？
问题 4：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x^2e^x\bigr)\) 等于？
\((u+v)'=u'+v'\)
\((uv)'=u'v+uv'\)
\(\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)
lecture_notes_lec3.pdf