链式法则
\(\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)\)
MIT 18.01 · 第 4 课
面对复合函数 \(f(g(x))\)，加法、乘法法则都不够用。链式法则 (chain rule) 给出复合函数求导的统一方法。本课还引入高阶导数 (higher derivatives) 并证明 \(D^n x^n=n!\)。
第 3 课建立了求导的基础法则。本课的链式法则把它们推广到复合函数，使你能处理 \(\sin(x^2)\)、\(e^{\tan x}\)、\((1+2x)^{10}\) 这样的表达式。高阶导数则把「求导」本身迭代，是后续泰勒展开的先声。
设 \(y=f(x)\)、\(x=g(t)\)，则 \(y=f(g(t))\)。增量关系：
\[\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}\]让 \(\Delta t\to 0\)，注意连续性保证 \(\Delta x\to 0\)：
\[\boxed{\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}}\]或写作：
\[\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\,g'(t)\]外层 \(f(x)=\sin x\)、内层 \(g(t)=t^2\)：
\[\frac{dy}{dx}=\cos x,\qquad \frac{dx}{dt}=2t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\sin(t^2)=2t\cos(t^2)\]复合不可交换：\(f\circ g\neq g\circ f\)。例如 \(\sin(x^2)\) 与 \(\sin^2(x)\) 完全不同。
令 \(u=1/x\)，则 \(\frac{du}{dx}=-1/x^2\)、\(\frac{d}{du}\sin u=\sin u\)：
\[\frac{d}{dx}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)\]（此处原笔记用 \(\sin\) 复合 \(1/x\) 演示，思路相同。）
方法 1：把 \(x^{-n}=1/x^n\) 用法则 \(\frac{u}{v}\) 或链式法则：
\[\frac{d}{dx}x^{-n} = -n x^{n-1}\cdot\frac{1}{x^{2n}}=-n x^{-n-1}\]方法 2：把 \(x^{-n}=(x^n)^{-1}\) 用链式法则，结果一致。
两种方法都确认了幂法则对负整数指数同样成立。
二阶导数是导数的导数：\(f''=(f')'\)，以此类推。常用记号：
| 阶 | 牛顿/拉格朗日 | 莱布尼茨 | 算子 |
|---|---|---|---|
| 1 | \(f'(x)\) | \(\dfrac{df}{dx}\) | \(Df\) |
| 2 | \(f''(x)\) | \(\dfrac{d^2f}{dx^2}\) | \(D^2f\) |
| 3 | \(f'''(x)\) | \(\dfrac{d^3f}{dx^3}\) | \(D^3f\) |
| \(n\) | \(f^{(n)}(x)\) | \(\dfrac{d^nf}{dx^n}\) | \(D^nf\) |
逐阶求导找规律：
\[Dx^n=nx^{n-1},\quad D^2x^n=n(n-1)x^{n-2},\quad D^3x^n=n(n-1)(n-2)x^{n-3},\ \dots\]猜测 \(D^n x^n=n!\)，用数学归纳法证明：
\[D^{n+1}x^{n+1}=D^n\bigl((n+1)x^n\bigr)=(n+1)D^nx^n=(n+1)n!=(n+1)!\]其中 \(n!=n(n-1)\cdots 2\cdot 1\) 称为「\(n\) 的阶乘」。
问题 1：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin(x^2)\) 等于？
问题 2：\(\displaystyle\frac{d}{dx}e^{3x}\) 等于？
问题 3：\(\displaystyle\frac{d^3}{dx^3}\,x^4\) 等于？
问题 4：\(\displaystyle D^n x^n\) 等于？
\(\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)\)
\(f\circ g\neq g\circ f\)，不可交换
\(f''=(f')'\)，记作 \(D^2f\) 或 \(\frac{d^2f}{dx^2}\)
\(D^n x^n=n!\)
\(\frac{d}{dx}x^{-n}=-n x^{-n-1}\)
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