五步法
画图→约束方程→对 t 求导→代入→检查
MIT 18.01 · 第 12 课
一个气球在充气，半径和体积同时在变；一条梯子靠墙滑下，顶端和底端都在动——这些量随时间变化，却由几何关系绑定在一起。相关变化率 (related rates) 用隐函数求导把这些变化率联系起来，从已知的变化率推出未知的变化率。
你已经学过隐函数求导（第 5 课）和链式法则（第 4 课）。相关变化率是两者的直接应用：把几何约束方程两边对时间 t 求导（链式法则），得到变化率之间的关系。它是期中考试里"建模—求导—代入"的经典题型，也是后续物理、工程应用微积分的常见模式。
关键顺序：先求导，再代入。不要把具体数值在求导前就代入——那会把变量变成常数，导数变成 0，关系就丢了。一定要先把完整的约束方程对 t 求导，得到变化率方程，再代入该时刻的数值。
（与复习题 6 同类）一个顶点角为直角的圆锥形容器，顶点朝下，以 \(3\ \text{cm}^3/\text{s}\) 的速率注水。求水深 \(h=2\ \text{cm}\) 时水面上升的速率。
设水的体积为 V，水面半径为 r，水深为 h。顶点角为直角意味着 \(r = h\)（半顶角 45°）。圆锥体积：
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi h^3 \quad (\text{代入 } r=h).\]
\[\frac{dV}{dt} = \pi h^2 \frac{dh}{dt}.\]
已知 \(dV/dt = 3\)，\(h=2\)：
\[3 = \pi \cdot 2^2 \cdot \frac{dh}{dt}\;\Longrightarrow\; \frac{dh}{dt} = \frac{3}{4\pi}\ \text{cm/s}.\]
蒸发情形（复习题 6b）：若不再注水，水因蒸发散失。合理假设：蒸发速率与水表面积 \(\pi r^2\) 成正比，即 \(dV/dt = -k\pi r^2 = -k\pi h^2\)。代入 \(dV/dt = \pi h^2 dh/dt\) 得 \(dh/dt = -k\)（常数），所以水面匀速下降。
长 5 米的梯子靠墙，底端以 \(2\ \text{m/s}\) 的速率远离墙面滑动。求底端离墙 3 米时，顶端沿墙下滑的速率。
设底端离墙 x，顶端高 y，约束 \(x^2+y^2=25\)。对 t 求导：
\[2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0\;\Longrightarrow\;\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.\]
当 \(x=3\) 时 \(y=4\)，\(dx/dt=2\)，故
\[\frac{dy}{dt}=-\frac{3}{4}\cdot 2 = -\frac{3}{2}\ \text{m/s}.\]
负号表示 y 在减小——顶端在向下走，符合直觉。
（复习题 5）一棵 200 英尺的树在倒下，太阳在正上方。当树与水平面成 30° 角时，影子以 50 英尺/秒的速率伸长。求此时角度变化的速率。
设树与水平夹角为 \(\theta\)，影长为 s。几何关系：\(s = 200\cos\theta\)。对 t 求导：
\[\frac{ds}{dt} = -200\sin\theta\,\frac{d\theta}{dt}.\]
代入 \(\theta=30^\circ\)，\(\sin30^\circ=1/2\)，\(ds/dt=50\)：
\[50 = -200\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{d\theta}{dt}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{2}\ \text{rad/s}.\]
负角速度表示角度在减小（树在倒向地面）。
问题 1：解相关变化率问题时，代入具体数值的正确时机是？
问题 2：方程 \(x^2+y^2=25\) 两边对 t 求导，\(y^2\) 的导数是什么？
问题 3：求出一个变化率为负值，说明什么？
问题 4：相关变化率题中涉及角度时，为什么通常用弧度而非度？
画图→约束方程→对 t 求导→代入→检查
这是相关变化率最容易出错的地方
每个变量都是 t 的函数，求导要带 d(·)/dt
正负号反映增大或减小
涉及三角函数时一律用弧度