MIT 18.01 · 第 2 课

极限、连续性与三角极限

导数建立在极限 (limit) 之上。本课系统阐述极限的运算、连续与间断的分类，并导出两个核心三角极限 \(\lim_{\theta\to 0}\sin\theta/\theta=1\) 与 \(\lim_{\theta\to 0}(1-\cos\theta)/\theta=0\)——它们是下一课推导 \(\sin x,\cos x\) 导数的基石。

授课：Prof. David Jerison 日期：2006-09-08 难度：入门

这一课在课程中的位置

第 1 课给出了导数的极限定义，但未系统讨论「极限怎么算」。本课补上这一环：从单侧极限、连续性讲到间断点分类，再以几何法证明两个三角极限，为第 3 课用定义推导 \(\sin' x=\cos x\)、\(\cos' x=-\sin x\) 铺路。前置知识仅为第 1 课的差商极限。

极限：变化率的桥梁

第 1 课已经指出：平均变化率 \(\Delta y/\Delta x\) 在 \(\Delta x\to 0\) 时的极限就是瞬时变化率 \(dy/dx\)。物理实例包括：

电荷 \(q\) 对时间的导数是电流：\(\displaystyle \frac{dq}{dt}\)。
距离 \(s\) 对时间的导数是速度：\(\displaystyle \frac{ds}{dt}\)。
GPS 定位问题：已知高度测量误差 \(\Delta h\)，求水平位置误差 \(\Delta L\)，本质是求 \(\Delta L/\Delta h\)。

简单极限

对「表现良好」的函数，可以直接代入求极限：

\[\lim_{x\to 3}\frac{x^2+x}{x+1}=\frac{3^2+3}{3+1}=\frac{12}{4}=3\]

但导数的极限 \(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) 永远不是简单极限——分母趋于 0，直接代入会得到 \(0/0\)。这一极限是在「\(x\neq x_0\) 但 \(x\to x_0\)」的前提下计算的。

连续性

函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续 (continuous)，当且仅当

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]

单侧极限

引入左右极限来刻画边界与间断：

右极限：\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)\)（\(x>x_0\) 一侧趋近）。
左极限：\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)\)（\(x

双侧极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等。

间断点的分类

可去间断 (removable)：\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在，但不等于 \(f(x_0)\)（或 \(f(x_0)\) 无定义）。例：\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 无定义，但极限为 2。
跳跃间断 (jump)：左右极限都存在但不相等。例：\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x>0\end{cases}\)，左极限 \(-1\)、右极限 \(1\)。
无穷间断 (infinite)：至少一侧极限为无穷。例：\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\)，\(\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty\)。
本质/振荡间断 (essential)：至少一侧极限不存在（即使作为无穷也不存在）。例：\(\sin(1/x)\) 当 \(x\to 0\) 时无限振荡，极限不存在。

注意：\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\) 不存在（左右极限不同）；但 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\) 是正确的写法。

导数的图像直观

以 \(f(x)=1/x\) 为例：\(f'(x)=-1/x^2\)。注意 \(f\) 是奇函数而 \(f'\) 是偶函数——奇函数的导数总是偶函数，反之亦然。

南瓜下落续篇：若从楼顶上抛南瓜，\(y=400-16t^2\)（\(-5\le t\le 5\)），则 \(y'(t)=-32t\) 是过原点的直线，速度随时间线性变化。

两个核心三角极限

以下所有 \(\theta\) 均为弧度 (radians)。

\[\boxed{\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1},\qquad \boxed{\lim_{\theta\to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta}=0}\]

几何证明（第一极限）

考虑单位圆上圆心角 \(\theta\) 的扇形。弧长为 \(\theta\)，对边长为 \(\sin\theta\)。当 \(\theta\) 很小时，弧长与对边长几乎相等，因此 \(\sin\theta/\theta\to 1\)。

几何证明（第二极限）

同一图中，\(1-\cos\theta\) 是圆上弧端点到邻边的短水平段。当 \(\theta\to 0\)，该段长度远小于弧长 \(\theta\)，故 \((1-\cos\theta)/\theta\to 0\)。

重要定理：可导必连续

定理：若 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续。

证明：

\[\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0) =f'(x_0)\cdot 0=0\]

这里 \(\displaystyle\frac{x-x_0}{x-x_0}\) 的「乘除」是合法的，因为取极限时 \(x\neq x_0\)，分母不为零。

其逆否命题同样有用：不连续则不可导。

常见误区与边界情况

把 \(\lim_{x\to 0}1/x\) 写成 \(\infty\)：错误。左右极限分别为 \(\pm\infty\)，双侧极限不存在；只有 \(\lim_{x\to 0}1/x^2=+\infty\) 才正确。
用度数代替弧度：\(\lim_{\theta\to 0}\sin\theta/\theta=1\) 仅在 \(\theta\) 为弧度时成立；若用度数，极限会变成 \(\pi/180\)。
把「导数在某点不存在」误认为「函数不连续」：实际上连续不一定可导（如 \(|x|\) 在 0 处连续但不可导）。
把间断点 \(x_0\) 代入 \(f\) 来求极限：极限关心的是趋近过程，与 \(f(x_0)\) 是否存在或取何值无关。

知识检查

问题 1：\(\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\) 与 \(\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta}\) 的值分别是？

问题 2：\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\) 的情况是？

问题 3：关于可导与连续，下列哪项正确？

问题 4：\(f(x)=\sin(1/x)\) 在 \(x=0\) 处的间断类型是？

本课要点

连续定义

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

单侧极限

双侧极限存在 ⇔ 左右极限存在且相等

三角极限

\(\sin\theta/\theta\to 1\)，\((1-\cos\theta)/\theta\to 0\)

可导 ⇒ 连续

不连续则一定不可导

间断分类

可去、跳跃、无穷、振荡四类

参考资料

Lecture 2 完整板书：lecture_notes_lec2.pdf
补充笔记：study_materials_c_cntnt_dscntnt.pdf（连续性专题）
参考教材 §1D（连续性）与 §2.4–2.5（三角函数的导数）

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