导数定义
\(f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
MIT 18.01 · 第 1 课
导数 (derivative) 是微积分的核心概念：它把「切线斜率」「瞬时速度」「变化率」统一成一个极限。本课从几何与物理两个视角给出定义，并通过具体计算建立直观。
这是 18.01 整个课程的起点。后续所有求导法则（乘积、商、链式、隐函数）都建立在今天这个极限定义之上。你不需要任何微积分预备知识，只需要熟练的代数运算。本课目标是：从「割线的极限」推出导数定义，并亲手算出 \(f(x)=1/x\) 与 \(f(x)=x^n\) 的导数。
给定函数 \(y=f(x)\) 与定点 \(P=(x_0,f(x_0))\)，过 \(P\) 的切线 (tangent line)并不是「只与图像交于一点的直线」——这个朴素说法并不充分。正确的刻画是：
切线是割线 (secant line) \(PQ\) 当第二点 \(Q\) 沿曲线趋于 \(P\) 时的极限位置。
设 \(Q=(x_0+\Delta x,\;f(x_0+\Delta x))\)，割线的斜率为差商 (difference quotient)：
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\]让 \(\Delta x\to 0\)（此时 \(Q\to P\)），就得到切线的斜率，即导数：
\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\]这是本课最核心、最重要的公式，后续几乎所有结论都从这里推出。
注意：不能直接把 \(\Delta x=0\) 代入差商，因为那会得到无意义的 \(\frac{0}{0}\)。必须先做代数化简、消去分母中的 \(\Delta x\)，再取极限。
逐步演算：
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{x_0+\Delta x}-\frac{1}{x_0}\right) =\frac{1}{\Delta x}\cdot\frac{x_0-(x_0+\Delta x)}{(x_0+\Delta x)x_0} =\frac{-\Delta x}{\Delta x\,(x_0+\Delta x)x_0}\]消去 \(\Delta x\)：
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=-\frac{1}{(x_0+\Delta x)x_0}\]取极限 \(\Delta x\to 0\)：
\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{1}{(x_0+\Delta x)x_0}\right)=-\frac{1}{x_0^2}\]结果为负是合理的：\(1/x\) 的图像向右下方倾斜，斜率为负。
过 \((x_0,y_0)\) 且斜率为 \(f'(x_0)\) 的直线方程为：
\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]代入 \(y_0=1/x_0\)、\(f'(x_0)=-1/x_0^2\)：
\[y-\frac{1}{x_0}=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0)\]可以求出切线在坐标轴上的截距：\(x\)-截距为 \(2x_0\)，\(y\)-截距为 \(2y_0=2/x_0\)（后一步利用了 \(y=1/x\) 关于直线 \(y=x\) 的对称性）。于是切线与两轴围成的三角形面积为：
\[\text{Area}=\frac{1}{2}\,(2x_0)\left(\frac{2}{x_0}\right)=2\]无论切点选在哪里，这个面积恒为 2——这是函数 \(1/x\) 的一个优美性质。
微积分由多人独立发展，因此同一概念有多种记号，使用时需留意隐含的求值点：
用二项式定理展开 \((x+\Delta x)^n\)，只保留最低阶项：
\[(x+\Delta x)^n = x^n + n x^{n-1}\Delta x + O\!\left((\Delta x)^2\right)\]代入差商（这里把 \(x_0\) 简记为 \(x\)）：
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} =\frac{n x^{n-1}\Delta x+O((\Delta x)^2)}{\Delta x} =n x^{n-1}+O(\Delta x)\]取极限 \(\Delta x\to 0\)：
\[\boxed{\frac{d}{dx}\,x^n=n\,x^{n-1}}\]这一幂法则可立即推广到多项式，例如：
\[\frac{d}{dx}(x^2+3x^{10})=2x+30x^9\]导数的物理意义是瞬时变化率 (instantaneous rate of change)。经典例子是 MIT 的万圣节传统——从约 400 英尺高的楼顶抛下南瓜。
高度方程（英尺）：\(y=400-16t^2\)。南瓜落地时 \(y=0\)，解得 \(t=5\) 秒。
平均速度（差商）：
\[\text{average speed}=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{400\ \text{ft}}{5\ \text{s}}=80\ \text{ft/s}\]但观众更关心撞击地面瞬间的速度，即 \(t=5\) 时的瞬时速度：
\[y'(t)=-32t\quad\Longrightarrow\quad y'(5)=-160\ \text{ft/s}\]负号表示南瓜向下运动，大小约 110 英里/小时。
一般地，若 \(s(t)\) 给出位置，则 \(ds/dt\) 是瞬时速度。导数把「平均变化率」在时间区间趋于零时锐化为「瞬时变化率」。
导数的适用范围远不止物理：电荷量 \(q\) 对时间的导数是电流 \(dq/dt\)；距离对高度敏感度 \(\Delta L/\Delta h\) 出现在 GPS 定位问题中。任何科学、工程、金融测量都离不开变化率。
问题 1：设 \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)，则 \(f'(x_0)\) 等于？
问题 2：\(\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^3\) 等于？
问题 3：本课对「切线」的定义基于什么？
问题 4：南瓜高度方程 \(y=400-16t^2\)，它撞击地面时的瞬时速度约为？
\(f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
导数 = 切线斜率 = 割线斜率的极限
\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1}\)
瞬时速度 = 位置对时间的导数
先化简差商、消去分母，再取极限
lecture_notes_lec1.pdf（MIT OCW）