绘图
\(f'\) 判增减，\(f''\) 判凹凸，列表系统化。
MIT 18.01 · Exam 2
第二次期中考试，闭卷，覆盖 Lecture 9–16：线性/二次逼近、曲线绘图、极值问题、相关变化率、牛顿法、中值定理与不等式、微分方程（分离变量）、反导数初步。本导读使用 pre-exam 练习与复习材料，不发布完整评分试卷。
若 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续、在 \((a,b)\) 可导，则存在 \(c\in(a,b)\) 使得：
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]推论：若 \(f'(x)>0\) 对所有 \(x\) 成立，则 \(f\) 严格递增。
\(\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)，用于求方程 \(f(x)=0\) 的近似根。
\(\displaystyle \frac{dT}{dt}=k(T_e-T)\)，解为 \(T(t)=T_e+(T_0-T_e)e^{-kt}\)。
对 \(f(x)=3x^5-5x^3+1\) 或 \(f(x)=2x^3+3x^2-12x+1\)，要求：
注意：不同坐标轴尺度（prexam2b 明确提示两轴比例不同），要按所给网格标注。
「过点 \((1,2)\) 的负斜率直线在第一象限截出三角形，何时面积最小？」设斜率 \(m<0\)，直线 \(y-2=m(x-1)\)，与坐标轴交点：
\[x_{\text{int}}=1-\frac{2}{m},\qquad y_{\text{int}}=2-m\]面积 \(A(m)=\frac12\cdot x_{\text{int}}\cdot y_{\text{int}}\)（取绝对值）。对 \(m\) 求导找临界点，用二阶导数或端点检验确认是最小值。
「NoKarb PopKorn 罐头体积固定 \(64\pi\)，何时用金属最少？」：设半径 \(r\)、高 \(h\)，体积 \(=\pi r^2 h=64\pi\)，表面积 \(=\pi r^2+2\pi r h\)（只有一个底面），消去 \(h\) 后对 \(r\) 求导。
优化题必须写「这是最小值」的论证：二阶导数正、或端点值比较、或函数只有一个临界点且问题本身存在最值。
「200 英尺树倒下，与水平成 30° 时影子伸长 50 ft/s，角度变化速率？」设树长 \(L=200\)，顶高 \(h=L\sin\theta\)，影长 \(x=L\cos\theta\)。
注意：\(\frac{dx}{dt}=L(-\sin\theta)\frac{d\theta}{dt}\)，代入 \(\theta=30^\circ\)、\(dx/dt=50\) 求 \(d\theta/dt\)。
「探照灯距墙 100 m，每 8 分钟转一圈，60° 角时囚犯跑多快？」角速度 \(\omega=2\pi/8=\pi/4\) rad/min，\(x=100\tan\theta\)，\(\frac{dx}{dt}=100\sec^2\theta\cdot\omega\)。
「用 MVT 证 \(e^x>1+x\)（\(x>0\)）」：设 \(f(t)=e^t\)，在 \([0,x]\) 上 MVT 给出 \(\frac{e^x-1}{x}=e^c\)（\(c\in(0,x)\)）。因为 \(e^c>1\)，所以 \(e^x-1>x\)。
「解 \(\frac{dy}{dx}=xy+x\)，\(y(0)=1\)」：分离变量 \(\frac{dy}{y+1}=x\,dx\)，积分得 \(\ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+C\)，由初值定 \(C\)。
「鱼从 20°C 放入 100°C 水，5 分钟后 30°C，何时到 60°C？」设 \(T(t)\) 满足冷却定律，\(T_e=100\)，\(T(0)=20\)，\(T(5)=30\)，先求 \(k\) 再解 \(T(t)=60\)。
「选 \(\varepsilon\) 使 \(f(x)=\frac{e^{-x}}{1+2\sin x}\) 在 \(x\approx 0\) 时尽量接近 1」：在 \(x=0\) 处展开，\(f(0)=1\)，要求 \(f'(0)=0\) 以消除一阶偏差，解出 \(\varepsilon\)。然后用该值估计 \(f(0.1)\)。
问题 1：用 MVT 证 \(e^x>1+x\)（\(x>0\)）时，关键不等式是？
问题 2：探照灯每 8 分钟转一圈，距墙 100 m，\(\theta=60^\circ\) 时光点移动速率是？
问题 3：方程 \(\frac{dy}{dx}=xy+x\) 分离变量后是？
\(f'\) 判增减，\(f''\) 判凹凸，列表系统化。
列函数 → 求导 → 临界点 → 论证最值。
隐式微分 + 几何关系，注意符号。
MVT 把函数差转为导数，用于不等式。
共 6 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
估计下列各式的值，精确到小数点后两位（需写出求解过程）。
对每一小问分别使用线性逼近。
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描绘函数 \(y = \frac{4}{x} + x + 1\) 在 \(-\infty < x < +\infty\) 上的图像，并在图上标注所有临界点（用字母 C 标注）和拐点（用字母 I 标注）及其坐标。
计算一阶导数和二阶导数，找出临界点和拐点，并分析渐近线行为。
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一位建筑师计划建造一个三角形围栏，两条栅栏边共用一个顶点，该顶点恰好位于第三边（借用一堵墙）的正对面，且这两条栅栏边的长度均固定为 \(L\)。设第三边的长度为 \(x\)（\(0 < x < 2L\)）。 1. 将围成的区域面积 \(A\) 表示为 \(x\) 的函数； 2. 求使面积最大的第三边长度 \(x\)； 3. 给出论证，说明你的答案确实给出最大面积（例如利用二阶导数符号或端点比较）。
将面积表示为单一变量的函数，利用微积分求其最大值。
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一枚火箭垂直发射，发射 \(t\) 秒后其高度为 \(h = 10t^2\)（单位：英尺）。你在距离发射点 1000 英尺处的地面上观察。你到火箭的视线与水平方向的夹角为 \(\theta\)。求发射 10 秒后 \(\theta\) 的变化率（单位：弧度/秒）。
利用三角函数关系将 \(\theta\) 与 \(h\) 关联，再对时间 \(t\) 求导。
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计算不定积分并求解微分方程。
对积分使用换元法，对微分方程使用分离变量法。
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设 \(f'(x) = e^{x^2}\)，且 \(f(0) = 10\)。根据拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem, MVT），可以得出 \(A < f(1) < B\)。求 \(A\) 和 \(B\) 的值。
在区间 \([0, 1]\) 上应用拉格朗日中值定理，利用 \(e^{x^2}\) 的单调性给出 \(f'(c)\) 的上下界。
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