MIT 18.01 · Exam 3

Exam 3：积分

第三次期中考试，闭卷，覆盖 Lecture 18–24：定积分定义、FTC1/FTC2、换元法、面积、旋转体体积（圆盘/柱壳）、功/平均值/概率、梯形与 Simpson 数值积分。本导读使用 review 讲义与 pre-exam 练习，不发布完整评分试卷。

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考试范围

Exam 3 是积分学的第一次综合考，重点在「用积分建模」与「计算方法」。考点：

• FTC1/FTC2：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\)，\(\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)\)。
• 换元法：\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\)。
• 面积：直角坐标、参数、极坐标。
• 体积：圆盘/垫圈 vs. 柱壳，选择 \(dx\) 或 \(dy\) 积分。
• 应用：功（变力沿路径做功）、平均值、概率密度。
• 数值积分：梯形法则、Simpson 法则及其误差。

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核心公式速查

体积计算决策树

数值积分公式

• 梯形法则（\(n\) 等份，步长 \(h\)）：\(\displaystyle T_n=\frac{h}{2}\left(y_0+2y_1+\cdots+2y_{n-1}+y_n\right)\)
• Simpson 法则（\(n\) 偶数）：\(\displaystyle S_n=\frac{h}{3}\left(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+\cdots+4y_{n-1}+y_n\right)\)

功的计算

变力 \(F(x)\) 沿 \(x\) 轴从 \(a\) 到 \(b\) 做功：\(\displaystyle W=\int_a^b F(x)\,dx\)。

典型例子：单摆重力做功 \(W=\int_0^{\theta_0} mg\sin\theta\cdot L\,d\theta = mgL(1-\cos\theta_0)\)——只与下降高度有关，与路径无关。

平均值

连续平均值：\(\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\)。

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代表性练习（来自 review 与 pre-exam 材料）

类型 A：FTC2 与变限积分（prexam3a/4）

设 \(F(x)=\int_0^x(3+\sin t)\,dt\)：

• 证明 \(F(1)\ge 2\)：因为 \(3+\sin t\ge 2\) 在 \([0,1]\) 成立，积分 \(\ge 2\cdot 1=2\)。
• 凹凸性：\(F'(x)=3+\sin x\)，\(F''(x)=\cos x\)。在 \((0,1)\)，\(\cos x>0\)，所以 \(F\) 上凸（concave up）。
• 换元：\(\int_1^2(3+\sin 2t)\,dt\) 用 \(u=2t\) 转化为 \(\frac12\int_2^4(3+\sin u)\,du\)，用 \(F\) 值表示。

类型 B：黎曼和定义（prexam3a/2）

用「上黎曼和（外接矩形）」直接算 \(\displaystyle\int_0^1 x\,dx\)：

\[U_n=\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}\cdot\frac1n=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac{n+1}{2n}\]

取极限 \(n\to\infty\) 得 \(1/2\)。这道题让你再次体验「没有 FTC 时算积分」的繁琐。

类型 C：旋转体体积（prexam3a/6,7）

「花瓶由 \(y=\sqrt{x}\) 绕 \(y\) 轴旋转，\(x\in[0,a]\)」：圆盘法（对 \(y\)）：

\[V=\int_0^{\sqrt{a}}\pi(y^2)^2\,dy=\pi\int_0^{\sqrt{a}}y^4\,dy=\frac{\pi a^{5/2}}{5}\]

「圆锥冰淇淋」：圆锥 \(y\) 轴截面 \(x=\sqrt{6-y}\)（由 \(y=6-x^2\)），顶部被平面截。用柱壳法更方便：对 \(x\) 积分，柱壳半径 \(x\)，高 = 顶部抛物线减底部圆锥。

类型 D：平均值（prexam3a/8）

「半径 \(a\) 的四分之一圆内接矩形，\(x\) 在 \([0,a]\) 均匀随机，求面积平均值」：

\[\bar{A}=\frac1a\int_0^a x\sqrt{a^2-x^2}\,dx\]

令 \(u=a^2-x^2\)，积分得 \(\frac1a\cdot\frac{a^3}{3}=\frac{a^2}{3}\)。

类型 E：数值积分（prexam3a/9）

用梯形法则与 Simpson 法则（\(n=2\)）估算 \(\int_0^{\pi/2}\sin^6 x\,dx\)。注意 Simpson 法则对三次以下多项式精确，这里被积函数不是多项式，但 \(n=2\) 仍可给出近似。

类型 F：连续复利模型（prexam3a/3）

连续复利 \(A(t)=A_0e^{rt}\)，每日连续存款速率 \(k\)（年率）。一年后账户总额：

\[\text{Total}=\int_0^1 k\,e^{r(1-t)}\,dt\]

建模理由：在时刻 \(t\) 存入的 \(k\,dt\) 到年末增长因子为 \(e^{r(1-t)}\)。

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常见陷阱

• 体积方法选错：绕 \(y\) 轴时若函数是 \(y=f(x)\)，别硬用圆盘（需要反函数），优先考虑柱壳。
• 数值积分系数记混：梯形端点系数 1，内部 2；Simpson 端点 1，奇数下标 4，偶数下标 2。
• 功的积分变量：单摆功 = 力 × 弧长微元 \(L\,d\theta\)，不是 \(dx\)。
• FTC2 换元忘改限：\(\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx\) 换元 \(u=g(x)\) 时，上限变为 \(g(b)\)、下限变为 \(g(a)\)。
• 平均值忘除区间长度：\(\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f\)，不要只算积分。

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知识检查

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自测小结

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完整题目清单

共 9 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

• 按下列要求计算各题。
• 第 2 题：按黎曼和的定义，用矩形上和（upper sums）作为和的极限直接计算。
• 第 3 题：列出定积分并说明理由，不必求值。
• 第 9 题：分别用梯形法则（trapezoidal rule）和辛普森法则（Simpson's rule），取 n = 2 进行近似。

覆盖范围

• 定积分及其计算
• 积分的定义（黎曼和 / 上和）
• 积分的应用（连续复利）
• 由积分定义的函数的性质（微积分基本定理）
• 旋转体体积（切片法、柱壳法）
• 函数的平均值
• 数值积分（梯形法则、辛普森法则）

题目 1 计算定积分 定积分 · 换元法 · 三角积分

官方题面翻译可离线作答

计算下列定积分。

1. a) \(\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^{2}}\,dx\)
2. b) \(\int_{-\pi/3}^{\pi/2} \cos^{3}x\,\sin 2x\,dx\)

公式与已知条件

• \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)
• 标准原函数技巧（凑微分、三角恒等变形）

解题入口

(a) 对分母作 u 换元。(b) 先把 \(\sin 2x\) 写成 \(\sin x\) 与 \(\cos x\) 的形式，再对所得三角被积函数作换元。

完成后检查

• 确认代入上下限的过程无误
• 根据被积函数在对应区间上的符号核对结果的符号

题面由官方习题 PDF 完整翻译，无需额外资料即可作答。

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题目 2 按定义计算积分（上和） 黎曼积分的定义 · 上和 · 和的极限

官方题面翻译可离线作答

按黎曼和的定义，将 \(\int_{0}^{1} x\,dx\) 作为和的极限直接计算。使用矩形上和（外接矩形，即 circumscribed rectangles）。可使用公式 \(\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\)。

公式与已知条件

• \(\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\)
• 在 \([0,1]\) 上采用等分，上和取右端点 \(x_i = i/n\)，\(\Delta x = 1/n\)

解题入口

将 \([0,1]\) 等分为 n 个宽度 \(\Delta x = 1/n\) 的子区间，取右端点 \(x_i = i/n\) 构造上和，再令 \(n\to\infty\) 取极限。

完成后检查

• 确认恢复已知值 \(\int_{0}^{1} x\,dx = 1/2\)
• 核对求和公式的代入是否正确

题面由官方习题 PDF 完整翻译，可直接按定义计算。

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题目 3 连续复利的积分建模 连续复利 · 定积分建模 · 连续存款流的终值

官方题面翻译可离线作答

某银行按年利率 r 连续复利计息，因此本金 \(A_0\) 在 t 年后增长为 \(A(t) = A_0 e^{rt}\)。你以恒定的年速率 k 每日连续存款（在时段 \(\Delta t\) 内存入 \(k\Delta t\) 美元）。请列出并说明理由，写出账户在一年末金额的定积分。不必求值。

公式与已知条件

• \(A(t) = A_0 e^{rt}\)
• 时段 \(\Delta t\) 内的存款额为 \(k\Delta t\)

解题入口

把每一笔在时刻 t 存入的微量存款 \(k\,dt\) 按剩余时间 \((1-t)\) 连续复利累积，再在 \([0,1]\) 上求和（积分）。

完成后检查

• 确认积分上下限为 0 到 1
• 核对单位：k 的单位为美元/年，dt 的单位为年

题面由官方习题 PDF 完整翻译，只要求建立积分表达式。

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题目 4 由积分定义的函数的性质 微积分基本定理 · 单调性与上下界 · 由二阶导数判断凸凹性 · 积分中的变量替换

官方题面翻译可离线作答

设 \(\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} (3 + \sin t)\,dt\)。不必求出 F(x) 的显式公式，完成以下各问：

1. a) (5 分) 证明 \(F(1) \ge 2\)。
2. b) (5 分) 判断 F(x) 在 \(0 < x < 1\) 上是凸的（concave up）还是凹的（concave down），并给出推理或论证。
3. c) (10 分) 用 F(x) 的函数值表示 \(\int_{1}^{2} (3 + \sin 2t)\,dt\) 的值。

公式与已知条件

• \(F'(x) = 3 + \sin x\)（微积分基本定理）
• \(F''(x) = \cos x\)
• 令 \(u = 2t\) 可将 (c) 中的积分与 F 联系起来

解题入口

(a) 在 \([0,1]\) 上对被积函数取下界，利用积分的单调性。(b) 考察 \(F''(x)\) 在 \((0,1)\) 上的符号。(c) 用变量替换把积分写成 F 的形式。

完成后检查

• (a) 确认下界论证成立
• (b) \(F''(x) = \cos x > 0\) 在 \((0,1)\) 上成立
• (c) 核对替换产生的系数

题面由官方习题 PDF 完整翻译，各问条件自含。

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题目 5 由微积分基本定理求常数与被积函数 微积分基本定理 · 积分函数的求导

官方题面翻译可离线作答

若 \(\int_{0}^{x} f(t)\,dt = e^{2x}\cos x + c\)，求常数 c 的值与函数 f(t)。

公式与已知条件

• 微积分基本定理：\(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)
• 在原式中令 \(x = 0\) 可求得 c

解题入口

对等式两端求导得到 f(x)；在原式中令 \(x = 0\) 确定 c。

完成后检查

• 由 \(x = 0\) 的取值确认 c 的值
• 核对求导结果与 f(x) 一致

题面由官方习题 PDF 完整翻译，条件充分。

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题目 6 花瓶体积（绕 y 轴旋转） 旋转体体积 · 水平切片法 · 圆盘 / 垫圈法

官方题面翻译可离线作答

一只玻璃花瓶是把第一象限中位于区间 \([0,a]\) 上方、且位于曲线 \(y = x\) 下方的区域绕 y 轴旋转一周所得的立体。用水平切片法求这只花瓶所用玻璃的体积。

公式与已知条件

• 曲线：\(y = x\)，即 \(x = y\)
• 水平切片范围：\(y\) 从 0 到 a
• 圆盘体积元：\(dV = \pi(\text{半径})^{2}\,dy = \pi y^{2}\,dy\)

解题入口

把 x 写成 y 的函数 \(x = y\)。在高度 y 处的水平切片是一个半径为 \(x = y\) 的圆盘；对 \(\pi y^{2}\) 从 0 到 a 积分。

完成后检查

• 确认半径为 y
• 核对积分上下限为 0 到 a

题面由官方习题 PDF 完整翻译，几何条件自含。

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题目 7 冰淇淋体积（柱壳法） 旋转体体积 · 柱壳法

官方题面翻译可离线作答

一个正圆锥高为 5，底面半径为 1，按常规方式装满冰淇淋。将圆锥置于坐标系中，使顶点位于原点，轴线沿正 y 轴方向。包含 x 轴的横截面顶部由抛物线 \(y = 6 - x^{2}\) 给出。把该横截面绕 y 轴旋转一周得到整个装满冰淇淋的立体。求冰淇淋的体积。（建议：使用柱壳法 cylindrical shells。）

公式与已知条件

• 柱壳法：\(\displaystyle V = 2\pi\int x\cdot(\text{高})\,dx\)
• 抛物线顶部：\(y = 6 - x^{2}\)
• 圆锥几何：高 5，底面半径 1，侧面母线为 \(x = y/5\)
• 柱壳高度：\((6 - x^{2}) - x/5\)
• x 范围：由 \(x = 0\) 到 \(x = 1\)

解题入口

采用柱壳法，半径取 x，高度取抛物线 \(y = 6 - x^{2}\) 到圆锥侧面 \(x = y/5\) 的竖直距离；由几何关系确定 x 的积分限。

完成后检查

• 核对由圆锥与抛物线位置关系得到的 x 积分限
• 确认柱壳公式中含有 \(2\pi\) 因子

题面由官方习题 PDF 完整翻译，几何与数据条件自含。

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题目 8 内接矩形面积的平均值 函数的平均值 · 四分之一圆几何

官方题面翻译可离线作答

在半径为 a 的四分之一圆内接矩形：在区间 \([0,a]\) 上任取一点 x，过该点作内接矩形。求这些矩形面积的平均值。

公式与已知条件

• 四分之一圆：\(y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}\)
• 位置 x 处矩形面积：\(A(x) = x\sqrt{a^{2} - x^{2}}\)
• 平均值公式：\(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int A(x)\,dx\)，此处区间为 \([0,a]\)

解题入口

把内接矩形的面积写成 x 的函数，再用平均值公式在 \([0,a]\) 上求平均。

完成后检查

• 由四分之一圆几何确认 A(x) 的表达式
• 核对平均值公式的分母为 a

题面由官方习题 PDF 完整翻译，几何条件自含。

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题目 9 梯形法则与辛普森法则近似 数值积分 · 梯形法则 · 辛普森法则

官方题面翻译可离线作答

分别用梯形法则和辛普森法则近似计算 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^{6}x\,dx\)，取 n = 2（把区间二等分）。

1. 梯形法则近似
2. 辛普森法则近似

公式与已知条件

• n = 2，区间 \([0,\pi/2]\)，故 \(\Delta x = \pi/4\)
• 节点：\(x_0 = 0,\; x_1 = \pi/4,\; x_2 = \pi/2\)
• 梯形法则：\(\displaystyle \frac{\Delta x}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)]\)
• 辛普森法则：\(\displaystyle \frac{\Delta x}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]\)

解题入口

分别计算 \(\sin^{6}x\) 在 \(x = 0,\;\pi/4,\;\pi/2\) 处的值，代入 \(\Delta x = \pi/4\) 的梯形与辛普森公式。

完成后检查

• 确认 \(\Delta x = \pi/4\)
• 核对三个节点处的函数值

题面由官方习题 PDF 完整翻译，数值条件自含。

来源：exams/0b4e633c54bf010773bbbe1dc8bf8dcc_prexam3a.pdf · 1

来源与改编说明

• 完整解答未包含在 exams/204fbfbf46cea3c9af775855a3bec084_prexam3asol.pdf 中（该文件仅含标题页）。
• 题目中提及的 'Volumes by vertical slicing 4B' 与 'Work problems (P.Set 5)' 属于其他备选题；源资料中未提供 4B 及 Problem Set 5 的原题陈述。
• Practice Exam 3 各题的解答 / 答案在所提供的源文件中均不可用。

参考资料与资源

• Review 讲义：exams/b91c3e6e1593a7ddeac5a6e3fbe0c0db_exam3review.pdf（含体积决策树、功例题）
• Pre-exam 练习：prexam3a.pdf（含解答 prexam3asol.pdf）
• 评分解答：exam3sol.pdf
• 相关讲义：第 18 课 · 第 21 课 · 第 22 课 · 第 23 课 · 第 24 课

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