闭区间法
临界点 + 两端点，比较函数值
MIT 18.01 · 第 11 课
微积分最直接的"现实世界"用途之一：在一切可能的方案里，找到最优的那一个——用料最少、面积最大、距离最短。本课把"求最值"转化为"找临界点并检验"，核心工具就是上一课的导数检验法。
第 10 课建立了用 f′ 和 f″ 分析函数形状的工具。这一课把这些工具指向一个具体目标：求函数在某个区间上的绝对最大值与最小值（global extrema），以及在约束条件下做优化。它是应用微积分建模的起点，也是期中考试里"列方程—求导—判断最值"的标准题型的直接来源。
若 f 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 f 在 \([a,b]\) 上必能取到最大值与最小值（极值定理）。求法如下：
为什么不能忘掉端点？最值可能出现在端点，而端点处导数未必为零。只要题目给了闭区间，端点必须代入。作业 3 第 1a 题特别提醒："Check endpoints"。
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\)，临界点 \(x=\pm 1\)，都在区间内。算四点的值：
\[f(-2)=-2,\; f(-1)=2,\; f(1)=-2,\; f(2)=2.\]
全局最大值 2（在 \(x=-1\) 和 \(x=2\) 处取得），全局最小值 \(-2\)（在 \(x=-2\) 和 \(x=1\) 处取得）。
应用题的一般策略：
常见坑：忘记确定定义域！"第一象限内""长度为正值"等条件决定 x 的取值范围，直接影响端点和临界点是否合法。
设梯子长 \(L\)，底端离墙距离为 x，顶端高度为 y，则约束为 \(x^2+y^2=L^2\)。若要求某个关于 x 的量的极值，就把 y 用 \(\sqrt{L^2-x^2}\) 代入目标函数，再对 x 求导。记得检查端点——x 不能为 0 或 L。
（与复习题 3 同类）过点 \((1,2)\) 作一条负斜率直线，与正 x 轴、正 y 轴围成三角形。设斜率为 \(m<0\)，则直线方程 \(y-2=m(x-1)\)，x 截距 \(x_0=1-2/m\)，y 截距 \(y_0=2-m\)。面积
\[A(m)=\frac{1}{2}x_0 y_0=\frac{1}{2}(1-2/m)(2-m).\]
对 m 求导并令 \(A'(m)=0\)，结合 \(m<0\) 筛选合法临界点，再用二阶导数或端点比较确认最小值（或最大值）。
求出临界点后，要证明它确实是最值（而不仅是候选）：
实用技巧：如果题目情境决定了"最值必然存在"，而你在区间内部只找到一个临界点，那么无需二阶检验，该临界点就是所求的最值点——这是 18.01 优化题常用的"唯一临界点即最值"论证。
问题 1：求连续函数在闭区间 \([a,b]\) 上的绝对最值，必须比较哪些点？
问题 2：解应用优化问题的第一步应该做什么？
问题 3：在某个区间内只找到一个临界点，且由实际背景知最值存在，则能得出什么结论？
问题 4：求出一个临界点后，应用题中下一步必须做什么？
临界点 + 两端点，比较函数值
定义变量→目标函数→求导→检验
实际约束决定哪些临界点合法
一阶/二阶检验或端点比较，不能只解 f′=0
最值存在且临界点唯一 → 它就是答案