MIT 18.01 · Exam 1

Exam 1：导数

第一次期中考试，闭卷（禁止书籍、笔记、计算器），覆盖 Lecture 1–7：极限、连续、各类求导法则（链式、隐函数、反函数、对数）、三角/指数/对数函数的导数、相关变化率与切线方程。本导读使用 pre-exam 练习与复习材料，不发布完整评分试卷。

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考试范围

Exam 1 聚焦「求导」本身及其应用，不涉及积分。具体考点：

• 定义层：用差商定义求导（\(1/x\)、\(x^n\)、\(\sin x\)、\(\cos x\) 等）。
• 法则层：和差、乘积、商、链式法则的熟练运用。
• 函数层：\(\sin^{-1}x\)、\(\tan^{-1}x\)、\(\sec x\)、\(a^x\)、\(\ln x\)、\(\sinh x\)、\(\cosh x\) 的导数。
• 技巧层：隐函数求导（hypocycloid 切线）、对数微分、相关变化率（气球半径）。
• 概念层：连续 vs. 可导、切线方程、导数的几何/物理意义。

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核心公式速查

基本求导公式（必须熟记）

• \(\displaystyle\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)，\(\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x\)，\(\displaystyle\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}e^x=e^x\)，\(\displaystyle\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x\)

反三角函数导数（用隐式微分推导）

• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}\)

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代表性练习（来自 pre-exam 材料）

以下题目类型来自 prexam1a.pdf、prexam1b.pdf 与 unit1_review.pdf。官方解答见 prexam1asolv1.pdf、prexam1bsol.pdf、exam1sol.pdf。

类型 A：直接从定义求导

「用定义求 \(f(x)=x^3\) 在 \(x=x_0\) 的导数」：

\[f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}=\lim_{h\to 0}(3x_0^2+3x_0h+h^2)=3x_0^2\]

关键步骤：展开分子、消去 \(h\)、取极限。对 \(f(x)=1/x^2\)、\(f(x)=\sqrt{x}\) 同法。

类型 B：把极限联系到导数

「求 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^3-1}{h}\)」：这正是 \(f(x)=x^3\) 在 \(x=1\) 的导数，即 \(f'(1)=3\)。

更一般地，\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\)，识别出 \(f\) 与 \(x_0\) 即可。

类型 C：连续与可导的条件

分段函数 \(f(x)=\begin{cases}ax+b,&x>0\\1-x+x^2,&x\le 0\end{cases}\)：

• 连续：在 \(x=0\) 处左右极限都等于 \(f(0)=1\)，得 \(b=1\)。
• 可导：左导数 = \((1-x+x^2)'|_{x=0}=-1\)，右导数 = \(a\)，所以 \(a=-1\)。

类型 D：隐函数求导与切线

曲线 \(x^2y+y^3+x^2=8\) 的水平切线：隐式微分：

\[2xy+x^2y'+3y^2y'+2x=0\quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{2x(y+1)}{x^2+3y^2}\]

水平切线要求 \(y'=0\)，即 \(x=0\) 或 \(y=-1\)，代回原方程找具体点。

类型 E：相关变化率

球形气球体积以 \(-10\ \text{cm}^3/\text{s}\) 减少，半径 \(r=20\) cm 时半径减少速率？

\[V=\frac43\pi r^3\quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\]

代入 \(\frac{dV}{dt}=-10\)、\(r=20\)：\(\displaystyle\frac{dr}{dt}=\frac{-10}{4\pi\cdot 400}=-\frac{1}{160\pi}\ \text{cm/s}\)。

类型 F：切线与坐标轴交点

\(y=f(x)\) 在 \((x_0,y_0)\) 的切线：\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)。令 \(y=0\) 得 \(x\)-截距：

\[x_{\text{int}}=x_0-\frac{y_0}{f'(x_0)}\]

这个公式反复出现（prexam1a 第 7 题），是后续相关变化率的基础。

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常见陷阱

• 差商直接代入 \(h=0\)：必须先代数化简（通分、有理化、展开）再取极限。
• 反三角函数导数符号：\(\sin^{-1}x\) 正、\(\cos^{-1}x\) 负，\(\tan^{-1}x\) 正。
• 分段函数只检查连续：Exam 1 几乎必考「可导参数」，要同时检查左右导数。
• 隐函数求导后忘代点：题目常要求「在 \((x,y)\) 处的切线」，求出 \(y'\) 表达式后代入。
• 相关变化率符号：注意 \(dV/dt\) 负表示减少，半径减少速率也为负。

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知识检查

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自测小结

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完整题目清单

共 7 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

• 未提供统一的通用说明；各题的分值与具体任务见各题题面。

覆盖范围

• 切线；求导法则（幂函数、商、链式、隐函数、对数）；分段函数的可导性与连续性；把极限解释为导数；利用推导指数函数的导数。

题目 1 立方根函数的切线 tangent line · derivative · power rule

官方题面翻译可离线作答

求曲线 \(y = x^{1/3}\)（\(x\) 的立方根）在 \(x = 1\) 处的切线方程。

公式与已知条件

• 已知函数 \(y = x^{1/3}\)，切点横坐标 \(x_0 = 1\)
• 幂函数求导公式：\(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\)
• 点斜式直线方程：\(y - y_0 = m(x - x_0)\)

解题入口

先用幂函数求导公式求出斜率，再代入点斜式写出切线方程。

完成后检查

• 确认点 \((1,1)\) 在曲线上。
• 用幂法则验证斜率：\((1/3)x^{-2/3}\) 在 \(x = 1\) 处的取值。

本题题面完整，由 MIT 原题官方翻译。

来源：exams/f59cd98e31f25c1690accfb8821eef13_exam1.pdf · 1

题目 2 多种函数的导数 quotient rule · chain rule · implicit differentiation · logarithmic differentiation

官方题面翻译可离线作答

求下列函数的导数。

公式与已知条件

• (a) \(y = \frac{x}{1-x}\)
• (b) \(y = \frac{\cos(2x)}{x}\)
• (c) 已知等式 \(e^{2f(x)} = g(x)\)
• (d) \(y = \ln(\sin x)\)
• 商的求导公式：\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• 三角函数与复合求导：\(\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \cdot u'\)
• 对数求导公式：\(\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u'}{u}\)
• 链式法则（chain rule）

解题入口

(a)(b) 用商的求导公式，注意内层函数需配合链式法则；(c) 等式两边对 \(x\) 隐函数求导；(d) 对 \(\ln(u)\) 用链式法则。

完成后检查

• (a) 检查分母是否平方、符号是否正确。
• (b) 内层函数 \(2x\) 的导数会带来系数 \(2\)。
• (c) 等式两边求导后结果应自洽。
• (d) 用 \(\ln\) 与 \(\sin\) 的导数公式交叉验证。

本题题面完整，由 MIT 原题官方翻译。其中 (c) 原稿排版为 e 2 f(x) = g(x)，解读为 e^{2f(x)} = g(x)。

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题目 3 隐函数求导 implicit differentiation · derivative evaluation

官方题面翻译可离线作答

设 \(y\) 由方程 \(y^4 + xy = 4\) 隐式定义，求 \(\frac{dy}{dx}\) 在点 \((x,y) = (3,1)\) 处的值。

公式与已知条件

• 已知方程 \(y^4 + xy = 4\)，给定点 \((3,1)\)
• 隐函数求导：方程两边对 \(x\) 求导
• \(y^4\) 的链式法则：\(\frac{d}{dx} y^4 = 4y^3 \frac{dy}{dx}\)

解题入口

方程两边对 \(x\) 求导，把 \(\frac{dy}{dx}\) 作为未知量解出，再代入 \(x=3, y=1\)。

完成后检查

• 先验证 \((3,1)\) 满足方程：\(1^4 + 3 \cdot 1 = 4\)。

本题题面完整，由 MIT 原题官方翻译。原稿 y = l 经代入验证解读为 y = 1。

来源：exams/f59cd98e31f25c1690accfb8821eef13_exam1.pdf · 1

题目 4 导数的图像 graphical interpretation of the derivative · slope

站内等价练习可离线作答

设 \(f(x)\) 是定义在 \([-3,5]\) 上的分段线性函数：当 \(-3 \leq x \leq 0\) 时连接点 \((-3,2)\) 与 \((0,-1)\)；当 \(0 \leq x \leq 2\) 时连接 \((0,-1)\) 与 \((2,3)\)；当 \(2 \leq x \leq 5\) 时连接 \((2,3)\) 与 \((5,0)\)。其中 \(x = 2\) 为不可导的尖点（左导数为 \(2\)、右导数为 \(-1\)）。请完成下列各问。

公式与已知条件

• \(f(x)\) 为分段线性函数，在每一线性段上斜率为常数
• \(f'(x)\) 等于 \(f\) 在各点处的斜率
• \(x = 2\) 处左导数为 \(2\)、右导数为 \(-1\)，导数存在跳跃间断

解题入口

逐段求出 \(f\) 的斜率，在对应区间上画水平线段；在尖点处用空心/实心点标示跳跃。

完成后检查

• \(f\) 的每段斜率应与 \(f'(x)\) 取值对应。
• \(f\) 的不可导点对应 \(f'\) 的间断点。

MIT 原题含函数 f 的图像但未被提取，故站内据课程阶段重新设计一道自包含的等价练习（分段线性函数 + 尖点），用于同等考察导数图像的定性绘制能力。

主题依据（本站题面非官方原题）：exams/f59cd98e31f25c1690accfb8821eef13_exam1.pdf · 2

题目 5 分段函数的可导性 piecewise functions · continuity · differentiability

官方题面翻译可离线作答

设 \(f(x) = \begin{cases} ax + b, & x < 1 \\ x^4 + x + 1, & x \geq 1 \end{cases}\)。求所有使得 \(f(x)\) 在全体实数上可导的参数 \(a\) 与 \(b\)。

公式与已知条件

• \(f(x) = ax + b\)（\(x < 1\)）；\(f(x) = x^4 + x + 1\)（\(x \geq 1\)）
• 连续性条件：\(\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1)\)
• 可导性条件：\(x = 1\) 处左导数 = 右导数

解题入口

先列 \(x = 1\) 处的连续性方程，再列左右导数相等方程，联立求解 \(a, b\)。

完成后检查

• 列出连续性方程。
• 列出左右导数相等方程。

本题题面完整，由 MIT 原题官方翻译。

来源：exams/f59cd98e31f25c1690accfb8821eef13_exam1.pdf · 2

题目 6 利用导数定义求极限 limits · definition of the derivative

官方题面翻译可离线作答

利用导数定义计算下列极限。

公式与已知条件

• (a) \(\lim_{x \to 0} \frac{(1+2x)^{10} - 1}{x}\)
• (b) \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)
• 导数定义：\(f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)

解题入口

把每个极限改写为 \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) 的形式，识别 \(f\) 与 \(a\)，极限即 \(f'(a)\)。

完成后检查

• (a) 可取 \(f(x) = (1+2x)^{10}\) 在 \(x = 0\) 处，或 \(g(x) = x^{10}\) 在 \(x = 1\) 处。
• (b) 取 \(f(x) = \cos x\) 在 \(x = 0\) 处。

本题题面完整，由 MIT 原题官方翻译。

来源：exams/f59cd98e31f25c1690accfb8821eef13_exam1.pdf · 2

题目 7 用定义推导 a^x 的导数 definition of the derivative · exponential functions

官方题面翻译可离线作答

直接从导数定义推导公式 \(\frac{d}{dx} a^x = M(a) a^x\)，并把 \(M(a)\) 表示为一个极限。

公式与已知条件

• 求 \(\frac{d}{dx} a^x\)
• 导数定义：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h}\)

解题入口

写出差商 \(\frac{a^{x+h} - a^x}{h}\)，提取公因子 \(a^x\)，把剩余部分识别为 \(M(a)\) 的极限。

完成后检查

• 确认 \(M(a)\) 只依赖于 \(a\)。
• 特例：\(a = e\) 时 \(M(e) = 1\)。

本题题面完整，由 MIT 原题官方翻译。

来源：exams/f59cd98e31f25c1690accfb8821eef13_exam1.pdf · 2

来源与改编说明

• 问题 4 原含函数 f 的图像但未被提取，已改为站内等价练习（分段线性函数含尖点），用于同等考察导数图像绘制。
• 问题 1 根号指数 3 渲染在根号下方，解读为 y = x^{1/3}。
• 问题 2(c) 原稿排版 e 2 f(x) = g(x) 解读为 e^{2f(x)} = g(x)。
• 问题 3 原稿 y = l 解读为 y = 1，经验证满足方程。

参考资料与资源

• Pre-exam 练习：exams/1c540fc9ab7b091636f7bd26896b1f4b_prexam1a.pdf、exams/45a20e8aee443709bd03320699145924_prexam1b.pdf
• Pre-exam 解答：prexam1asolv1.pdf、prexam1asolv2.pdf、prexam1bsol.pdf
• Unit 1 复习：study_materials/18a28c4c5da3c4fd876e376f1917d7ba_unit1_review.pdf（含完整求导公式汇总）
• 往年真题与评分解答：exam1.pdf、exam1sol.pdf（学完 pre-exam 后再做）

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