MIT 18.01 · Problem Set 8
Problem Set 8：极坐标、洛必达、级数与泰勒级数
课程的最后一次常规作业，分 8A（Lecture 30–31：参数方程、弧长、极坐标面积、悬链线）与 8B（Lecture 34–37：洛必达、反常积分、级数收敛、Gamma 函数递推、球面帽优化）。内容跨度大，是期末总复习的绝佳素材。
类型：Problem Set 8（8A + 8B）
截止：2006-12-08 13:55
覆盖：Lecture 31, 34, 35, 36, 37（8A 含 Lecture 30）
学习目标
- 把参数曲线 \(x=a\cos^k t,\ y=a\sin^k t\) 化为直角坐标方程，并计算弧长。
- 用极坐标面积公式 \(\frac12\int r^2\,d\theta\) 计算区域面积，并与直角坐标结果对照。
- 用洛必达法则判断 \(\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx\) 的收敛性，并用分部积分推导 Gamma 递推 \(A(n+1)=nA(n)\)。
- 结合球冠体积与表面积，优化肥皂泡形状（最小表面积问题）。
前置知识
结构说明
- 8A Part I（15 分）：参数方程/弧长、极坐标面积的配套练习。
- 8A Part II（30 分）：3 道题——参数曲线弧长、悬链线（catenary）弧长与悬链面（catenoid）表面积、极坐标面积。
- 8B Part I（20 分）：洛必达、反常积分、级数的配套练习。
- 8B Part II（17 分 + 5 额外）：Gamma 函数递推与收敛、球面帽优化。
主题梳理与示例
1. 参数曲线 \(x=a\cos^k t,\ y=a\sin^k t\)（8A/1）
取 \(k=1\)：\(x=a\cos t,\ y=a\sin t\)，满足 \(x^2+y^2=a^2\)（圆），弧长 \(=a\cdot\pi/2\)。
取 \(k=2\)：\(x=a\cos^2 t=a(1+\cos 2t)/2\)，\(y=a\sin^2 t=a(1-\cos 2t)/2\)，满足 \(x+y=a\)，且参数描出从 \((a,0)\) 到 \((0,a)\) 的整条线段；弧长由两端点距离得 \(a\sqrt{2}\)。
一般 \(k\)：弧长积分 \(\displaystyle L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\)，代入求值并与 \(k=1,2\) 的几何结果对照。
2. 悬链线与悬链面（8A/2）
双曲函数定义 \(\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)，\(\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)。基本性质：\((\sinh x)'=\cosh x\)，\((\cosh x)'=\sinh x\)，\(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\)。
参数曲线 \(x=\cosh t,\ y=\sinh t\) 满足 \(x^2-y^2=1\)（双曲线）。悬链线 \(y=\cosh x\) 的弧长：
\[s=\int_0^{x_1}\sqrt{1+\sinh^2 x}\,dx=\int_0^{x_1}\cosh x\,dx=\sinh x_1\]
悬链面（绕 \(x\) 轴旋转）的表面积：
\[A=\int 2\pi y\,ds=\int_0^{x_1}2\pi\cosh x\cdot\cosh x\,dx=2\pi\int_0^{x_1}\cosh^2 x\,dx\]
悬链面是连接两个圆盘的「最小表面积」形状——肥皂膜实验的经典结果，与最速降线、等周问题同为变分法起源。
3. 极坐标面积（8A/3）
极坐标面积公式：\(\displaystyle A=\frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r^2\,d\theta\)。
曲线 \(r=1/(1+\sin\theta)\) 化为直角坐标：\(r+r\sin\theta=1\)，即 \(\sqrt{x^2+y^2}+y=1\)，整理得 \(x^2=1-2y\)（开口向下的抛物线）。
区域 \(0\le r\le 1/(1+\sin\theta)\)，\(0\le\theta\le\pi\) 的面积：
\[A=\frac12\int_0^\pi\frac{1}{(1+\sin\theta)^2}\,d\theta\]
令 \(u=\theta-\pi/2\)，用 \(1+\cos u=2\cos^2(u/2)\) 化简。这个例子说明：极坐标面积公式在处理「绕焦点扫过的面积」时比直角坐标方便（开普勒定律的背景）。
4. Gamma 函数与反常积分（8B/1）
用洛必达法则：\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^m e^{-x}=0\)（指数衰减比任何幂增长快）。由此用比较判别法证明 \(\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx\) 对 \(n\ge 0\) 收敛。
记 \(A(n)=\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx\)。分部积分：
\[A(n+1)=\int_0^\infty x^{n+1}e^{-x}\,dx=\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^\infty+(n+1)\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx=(n+1)A(n)\]
边界项在 \(\infty\) 处为 0 正是用了洛必达的结果。又 \(A(0)=1\)，所以 \(A(n)=n!\)。
5. 肥皂泡形状优化（8B/2）
球冠体积 \(V=\pi(rh^2-h^3/3)\)，其中 \(r\) 是球半径，\(h\) 是冠高。球冠表面积（只算曲面）：
\[S=2\pi rh\]
在体积 \(V\) 固定下最小化 \(S\)：由 \(V\) 的公式把 \(r\) 表为 \(h\) 的函数，代入 \(S\)，对 \(h\) 求导令为零，得到 \(h/r=1\)，即半球。所以最优肥皂泡是半球。
常见坑
- 参数曲线弧长积分限：\(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi/2\) 只描出第一象限部分。
- 极坐标面积漏乘 \(1/2\)：面积元是 \(\frac12 r^2\,d\theta\)，不是 \(r^2\,d\theta\)。
- 洛必达使用条件：必须是不定式 \(0/0\) 或 \(\infty/\infty\)，且导数极限存在。
- 分部积分边界项：\(\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^\infty\) 在 \(\infty\) 处为 0 需要洛必达保证。
知识检查
问题 1：极坐标下区域面积公式是？
问题 2：\(A(n)=\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx\) 满足的递推是？
问题 3：固定体积的肥皂泡（球冠形）最小表面积对应什么形状？
自测小结
参数弧长
\(ds=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\)，注意参数范围。
极坐标面积
\(\frac12\int r^2\,d\theta\)，注意 \(\theta\) 范围避免重复计数。
洛必达 + 反常积分
指数衰减快于幂增长，保证边界项为 0。
优化
球冠体积固定 → 半球表面积最小。
完整题目清单
共 7 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 8A 是习题集 8 的前半部分，在考试 4 后一周提交。建议在考前完成 8A 以备考。
- 第一部分（Part I）涵盖第 30–38 讲，并配有指定的教材练习。
- 弧长公式：\(ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt\)，积分区间为 \(t_0\) 到 \(t_1\)。
- 作答要求：尝试独立解决每道题的每个部分。若与他人合作，仍须独立完成解答。严禁查阅往届学期的资料。每道题旁标注的是该题可完成的日期。
- 问题 0：写出你咨询过的所有人姓名或合作的同学姓名，以及你使用的资源；若无，请填“无”或“未咨询”。
覆盖范围
- 参数方程
- 弧长
- 旋转曲面面积
- 极坐标
- 极坐标下的面积
- 双曲函数
- 悬链线（Catenary）
- 悬链面（Catenoid）
- 未定式
- 洛必达法则
- 反常积分
- 比较判别法
- 分部积分
- 无穷级数
- 收敛判别法
- 几何级数
- 调和级数
- 比较检验
- 积分判别法
- 泰勒级数
- 球冠
- 优化
题目 0
协作与诚信声明
学术诚信
官方题面翻译可离线作答
写出你咨询过的所有人姓名或合作的同学姓名，以及你使用的资源；若无，请填“无”或“未咨询”。（详见 PS1 的完整说明。）
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题目 1
参数曲线 \(x = a \cos^k t, y = a \sin^k t\)
参数方程 · 弧长
官方题面翻译可离线作答
分析参数曲线 \(x = a \cos^k t\)，\(y = a \sin^k t\)，其中 \(a > 0\)，\(k > 0\) 为常数。
- a) 求该曲线的关于 \(x\) 与 \(y\) 的代数方程。在 \(k = 1\)、\(k = 2\)、\(k = 3\) 三种情况下，画出 \(0 \le t \le \pi/2\) 对应的那段曲线。
- b) 不通过计算，求 \(k = 1\) 和 \(k = 2\) 两种情况下的弧长。
- c) 对一般情形 \(k\)，建立曲线弧长的定积分表达式，并分别计算 \(k = 1\)、\(k = 2\)、\(k = 3\) 时的积分值。（前两种情况的结果应与 (b) 一致，但计算过程会更耗时。）
公式与已知条件
- 参数方程：\(x = a \cos^k t\)，\(y = a \sin^k t\)
- 弧长微分：\(ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt\)
解题入口(a) 部分利用 \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\) 消去参数 \(t\)；(c) 部分计算 \(ds\) 再积分。
完成后检查
- (c) 中 k=1、k=2 的计算结果应与 (b) 一致。
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题目 2
双曲函数与悬链线
双曲函数 · 参数方程 · 弧长 · 旋转曲面面积
官方题面翻译可离线作答
双曲正弦（\(\sinh\)）、双曲余弦（\(\cosh\)）、悬链线与悬链面。
- a) 证明：i) \(\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x\)，\(\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x\)；ii) \(\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x\)；iii) \(\cosh^2 x = \frac{1 + \cosh 2x}{2}\)。
- b) 参数方程 \(x = \cosh t\)，\(y = \sinh t\) 表示什么曲线？（给出方程与名称。）
- c) 曲线 \(y = \cosh x\) 称为悬链线（catenary）。i) 画出其大致图像。ii) 求从最低点 \((0,1)\) 到点 \((x_1, \cosh x_1)\) 的弧长，其中 \(x_1 > 0\) 固定。
- d) 将 (c) 中的曲线段绕 \(x\) 轴旋转，求生成的旋转曲面面积。该曲面称为悬链面（catenoid）。
公式与已知条件
- \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
- \(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)
- \(\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x\)
- \(\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x\)
- \(\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x\)
- \(\cosh^2 x = \frac{1 + \cosh 2x}{2}\)
解题入口利用指数定义推导；弧长与旋转曲面面积使用标准公式。
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题目 3
极坐标下的面积
极坐标 · 极坐标下的面积 · 坐标转换
官方题面翻译可离线作答
用极坐标与直角坐标计算面积。
- a) 用极坐标求顶点为 \((0,0)\)、\((a,0)\)、\((a,h)\) 的直角三角形的面积。
- b) 将曲线 \(r = \frac{1}{1 + \sin \theta}\) 转化为 \((x,y)\) 直角坐标方程，并画出其图像。
- c) 用 (b) 得到的直角坐标公式，计算区域 \(0 \le r \le \frac{1}{1 + \sin \theta}\)，\(0 \le \theta \le \pi\) 的面积。
- d) 用极坐标计算 (c) 中区域的面积。（提示：令 \(u = \theta - \pi/2\)，并利用 \(1 + \cos u = 2 \cos^2(u/2)\)。）
公式与已知条件
- 极坐标面积公式：\(\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta\)
- 曲线方程：\(r = \frac{1}{1 + \sin \theta}\)
- 三角恒等式：\(1 + \cos u = 2 \cos^2(u/2)\)
解题入口(a) 将三角形边界用极坐标表示；(d) 通过代换化简积分。
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题目 0
协作与诚信声明
学术诚信
官方题面翻译可离线作答
写出你咨询过的所有人姓名或合作的同学姓名，以及你使用的资源；若无，请填“无”或“未咨询”。（详见 PS1 的完整说明。）
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题目 1
洛必达法则与反常积分
洛必达法则 · 反常积分 · 比较判别法 · 分部积分 · Gamma 函数
官方题面翻译可离线作答
利用洛必达法则与比较判别法分析反常积分的收敛性，并推导 \(A(n)\) 的递推关系。
- a) 用洛必达法则求 \(\lim_{x \to \infty} x^m e^{-x}\)。
- b) 利用 (a) 及比较判别法证明：反常积分 \(\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx\) 对任意 \(n \ge 0\) 收敛。（不得使用分部积分。）
- c) 记 \(A(n) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx\)。用分部积分求常数 \(c_n\)，使得 \(A(n+1) = c_n A(n)\)。（利用 (a) 说明无穷远处的极限行为。）
- d) 求 \(A(0)\)，并由 (c) 推导出 \(A(n)\) 在 \(n = 0, 1, 2, \dots\) 时的表达式。
- e)（选做；额外 5 分）证明表示 \(A(-1/2)\) 的反常积分收敛，并用换元法求其值。
公式与已知条件
- \(A(n) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx\)
- 递推目标：\(A(n+1) = c_n A(n)\)
解题入口(a) 改写为 \(x^m/e^x\) 再用洛必达法则；(c) 取 \(u = x^{n+1}\) 进行分部积分。
完成后检查
- 递推关系应给出整数 \(n\) 时 \(A(n) = n!\)。
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题目 2
球冠与肥皂泡
旋转体 · 球冠 · 表面积 · 优化
官方题面翻译可离线作答
求球冠的体积与表面积，并确定在体积固定时使表面积最小的肥皂泡形状。
- a) 证明：由半径为 \(r\)、高度为 \(h\) 的球冠（顶部）与水平平面（底部）所围成的旋转体体积为 \(V = \pi(rh^2 - h^3/3)\)。画出图形，并在 \(h = 0\)、\(h = r\)、\(h = 2r\) 三种情形下检验结果。设 \(0 \le h \le 2r\)。
- b) 证明：该球冠的曲面面积为 \(S = 2\pi rh\)。画出图形，并在 \(h = 0\)、\(h = r\)、\(h = 2r\) 三种情形下检验结果。
- c) 一个肥皂泡由上述球冠与底部水平圆盘组成。在体积 \(V\) 固定的条件下，求使总表面积最小的 \(r\) 与 \(h\) 的比值，并说明此时肥皂泡的形状。
公式与已知条件
- 体积公式：\(V = \pi(rh^2 - h^3/3)\)
- 高度范围：\(0 \le h \le 2r\)
解题入口(a)(b) 由相应圆弧旋转得到；(c) 在体积约束下最小化表面积。
完成后检查
- 体积与面积公式在 \(h=0\)、\(h=r\)、\(h=2r\) 时均能正确退化。
题面来自官方 PDF 的翻译。
来源：study_materials/87417161803dd6503034989fbe34cc37_ps8b.pdf · 2
来源与改编说明
- 8A 第一部分（Part I）教材题未完整给出：4E-2, 4E-3, 4E-8；4F-1d, 4F-4, 4F-5, 4F-8；4G-2, 4G-5；4H-1bfg, 4H-2a, 4H-3f；4I-2, 4I-3。
- 8B 第一部分（Part I）教材题未完整给出：6A-1befgj, 6A-5, 6A-6c；6B-1, 6B-2, 6B-7afkm, 6B-8c；7A-1abc；7B-1abf, 7B-2acde。
参考资料与资源
- 8A 原文：
study_materials/7b0ef3784e4eabf239d95286d01ca139_ps8a.pdf
- 8B 原文：
study_materials/87417161803dd6503034989fbe34cc37_ps8b.pdf
- 相关讲义：第 31 课 · 第 34 课 · 第 37 课