柱壳法
圆环体体积 = 面积 × 圆心轨迹（Pappus）。
MIT 18.01 · Problem Set 7
覆盖 Lecture 27–30：三角换元与平方完成、部分分式、分部积分与递推公式、以及旋转体体积/表面积。这是第一次把「积分技术」作为核心目标的作业，为 Exam 4 的积分技巧综合考做准备。
圆盘 \((x-b)^2+y^2\le a^2\)（\(b>a\)）绕 \(y\) 轴旋转。柱壳法：把圆盘切成竖条，距 \(y\) 轴距离 \(x\)，高 \(2\sqrt{a^2-(x-b)^2}\)，厚度 \(dx\)。体积：
\[V=\int_{b-a}^{b+a}2\pi x\cdot 2\sqrt{a^2-(x-b)^2}\,dx\]令 \(u=x-b\)：
\[V=4\pi\int_{-a}^{a}(b+u)\sqrt{a^2-u^2}\,du=4\pi b\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-u^2}\,du+4\pi\int_{-a}^{a}u\sqrt{a^2-u^2}\,du\]第二项是奇函数在对称区间积分，为 0；第一项是半圆面积 \(\pi a^2/2\)，所以：
\[V=4\pi b\cdot\frac{\pi a^2}{2}=2\pi^2 a^2 b\]这正是「圆盘面积 \(\pi a^2\) × 圆心轨迹 \(2\pi b\)」——Pappus 定理的特例。
用 \(\tan^2 x=\sec^2 x-1\)：
\[\int\tan^{n+2}x\,dx=\int\tan^n x(\sec^2 x-1)\,dx=\int\tan^n x\sec^2 x\,dx-\int\tan^n x\,dx\]第一项令 \(u=\tan x\)，\(du=\sec^2 x\,dx\)，得 \(\frac{\tan^{n+1}x}{n+1}\)。于是：
\[\int\tan^{n+2}x\,dx=\frac{\tan^{n+1}x}{n+1}-\int\tan^n x\,dx\]这是降幂递推。第 (b) 小题求 \(\int\tan^4 x\,dx\)：用两次递推降到 \(\int\sec^2 x\,dx-\int 1\,dx\)。
把 \(\sec x\) 改写：
\[\sec x=\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^2 x}=\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\]令 \(u=\sin x\)，\(du=\cos x\,dx\)：
\[\int\sec x\,dx=\int\frac{du}{1-u^2}=\int\frac{du}{(1-u)(1+u)}\]部分分式：\(\displaystyle\frac{1}{1-u^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)\)，积分得：
\[\frac12(-\ln|1-u|+\ln|1+u|)=\frac12\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\]分子分母同乘 \(1+\sin x\)，用 \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\)，化为常见形式：
\[\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C\]第一拱从 \(x=0\) 到 \(x=\pi/2\)。柱壳法（对 \(x\) 积分）：
\[V=\int_0^{\pi/2}2\pi x\cos x\,dx\]分部积分：\(u=x\)，\(dv=\cos x\,dx\)：
\[V=2\pi\left([x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\right)=2\pi\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\pi^2-2\pi\]问题 1：圆环体（圆盘半径 \(a\)，圆心距轴 \(b\)）的体积是？
问题 2：\(\tan^{n+2}x\) 的递推公式是？
问题 3：\(\displaystyle\int\sec x\,dx\) 等于？
圆环体体积 = 面积 × 圆心轨迹（Pappus）。
\(\tan^n x\) 用 \(\sec^2 x-1\) 拆分降幂。
\(\sec x\) 经 \(\cos x/(1-\sin^2 x)\) 换元后分解。
\(\int x\cos x\,dx\) 选 \(u=x\)。
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列出合作人与所用资源，或声明“无”。
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家庭电路的电压 V 由 \(V(t) = C \sin(120\pi t)\) 给出，其中 t 的单位是秒，C 为常数振幅。在一个周期（或一个循环）内，V² 的平均值的平方根称为均方根电压，简称 RMS。这就是家用电压表所显示的数值。对于家庭电流，请将 RMS 用 C 表示。（输送到家庭电路的峰值电压为 ±C。V² 的单位是平方伏特；在取平均后再开方，单位恢复为伏特。）
先对 V² 在一个周期上积分求平均，再对结果开平方。
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实心圆环体（solid torus）是将圆盘 \((x-b)^2 + y^2 \le a^2\) 绕 y 轴旋转一周所得的立体。请用柱壳法（method of shells）求其体积。（提示：对 \(x-b\) 作换元。正如教材第 229/11 页所指出的，答案恰好等于圆盘面积乘以圆心在旋转过程中所经过的路程。）
使用柱壳法公式 \(V = 2\pi \int (\text{半径})(\text{高度})\,dx\)，并对 \(u = x-b\) 作换元。
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利用换元 \(\tan^2 x = \sec^2 x - 1\) 推导 \(\int \tan^{n+2}x\,dx\) 的降次公式，并应用该公式。
将 \(\tan^{n+2}x\) 写成 \(\tan^n x \cdot \tan^2 x\)，再代入恒等式 \(\tan^2 x = \sec^2 x - 1\)。
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利用换元与部分分式推导 \(\int \sec x\,dx\) 的公式，再将其化为标准形式。
令 \(u = \sin x\)，再将 \(\frac{1}{1-u^2}\) 进行部分分式分解。
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求函数 \(y = \cos x\) 在第一峰（first hump）下的区域绕 y 轴旋转一周所得立体的体积，使用柱壳法。
使用柱壳法：\(V = 2\pi \int_0^{\pi/2} x \cos x\,dx\)。
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