参数方程
x=x(t), y=y(t)，消去 t 可得直角坐标方程
MIT 18.01 · 第 30 课
很多曲线无法写成 y=f(x) 或 x=g(y) 的形式——圆、摆线、椭圆都更适合用参数 (x(t), y(t)) 描述。这一课把积分从“沿着 x 轴”推广到“沿着曲线”：用参数 t 写出弧长微元 ds，进而求弧长 (arc length) 和旋转面面积 (surface area)。
你已经会算面积和体积（沿着 x 或 y 轴积分）。本课引入参数方程，把“沿曲线”的积分统一表达。弧长是定积分的一个直接应用，而旋转面面积是期中 4 的重点公式之一。下一课（极坐标）会再给出一套参数化 (r(θ), θ)，本课的 ds 推导是它的基础。
若曲线上每一点的坐标由同一个参数 t 决定：
\[x = x(t),\qquad y = y(t),\quad t_0\le t\le t_1,\]则 t 变化时点 (x(t),y(t)) 就描出整条曲线。
圆 \(x^2+y^2=a^2\) 的参数方程：\(x=a\cos t,\ y=a\sin t,\ 0\le t\le 2\pi\)。
椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)：\(x=a\cos t,\ y=b\sin t\)。
有时需要把参数方程代回直角坐标。例如 \(x=a\cos^3 t,\ y=a\sin^3 t\)（星形线）：
\[x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}(\cos^2 t+\sin^2 t) = a^{2/3}.\]把一小段弧长 ds 近似为直角三角形的斜边：\(ds^2 = dx^2 + dy^2\)。两边除以 dt² 再开方：
\[ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{\!2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{\!2}}\,dt.\]从 t₀ 到 t₁ 积分，得到弧长：
\[\boxed{L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{\!2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{\!2}}\,dt.}\]三种等价形式：根据选哪个变量作积分元，弧长可写成
\[ds = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{\!2}}\,dx = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{\!2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{\!2}}\,dt = \sqrt{\left(\frac{dx}{dy}\right)^{\!2}+1}\,dy.\]\(x=a\cos t,\ y=a\sin t\)，dx/dt = −a sin t，dy/dt = a cos t：
\[ds = \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t}\,dt = a\,dt.\]一圈 \(t\in[0,2\pi]\)：\(L = \int_0^{2\pi} a\,dt = 2\pi a\)，与常识一致。
\(x=a\cos^3 t,\ y=a\sin^3 t\)，则 dx/dt = −3a cos²t sin t，dy/dt = 3a sin²t cos t：
\[ds = \sqrt{9a^2\cos^4 t\sin^2 t + 9a^2\sin^4 t\cos^2 t}\,dt = 3a|\sin t\cos t|\,dt.\]利用对称性，算第一象限（t∈[0,π/2]，sin t, cos t ≥ 0）再乘 4：
\[L = 4\int_0^{\pi/2} 3a\sin t\cos t\,dt = 12a\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt = 12a\cdot\frac{1}{2} = 6a.\]期中提示：弧长积分往往根号下是一个完全平方，先化简根号再积分；对称性可以大幅减少计算量。
把一段弧 ds 绕轴旋转，它扫出一个“细带”，面积 ≈ 周长 × 带宽 = \(2\pi(\text{半径})\cdot ds\)。
| 旋转轴 | 半径 | 面积微元 dA |
|---|---|---|
| 绕 x 轴 | \(y\)（竖直距离） | \(dA = 2\pi y\,ds\) |
| 绕 y 轴 | \(x\)（水平距离） | \(dA = 2\pi x\,ds\) |
代入 ds 的三种形式：
\[\text{绕 x 轴： } A = \int 2\pi y\,\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx.\] \[\text{绕 y 轴： } A = \int 2\pi x\,\sqrt{(dx/dy)^2+1}\,dy.\]上半圆 \(y=\sqrt{a^2-x^2}\)，\(x\in[-a,a]\)。dy/dx = −x/y，所以：
\[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1+\frac{x^2}{y^2} = \frac{x^2+y^2}{y^2} = \frac{a^2}{y^2}.\] \[dA = 2\pi y\cdot\frac{a}{y}\,dx = 2\pi a\,dx.\]积分：\(A = \int_{-a}^{a} 2\pi a\,dx = 4\pi a^2\)。
第 8A 课问题 2 引入了双曲函数：
\[\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}.\]它们满足 \(\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x\)，\(\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x\)，以及恒等式 \(\cosh^2 x = 1+\sinh^2 x\)。
曲线 \(x=\cosh t,\ y=\sinh t\) 满足 \(y^2-x^2 = -1\)，即 \(x^2-y^2=1\)——这是一条等轴双曲线。
这里 y 直接是 x 的函数，用 x 作参数：dy/dx = sinh x。
\[\sqrt{1+\sinh^2 x} = \sqrt{\cosh^2 x} = \cosh x.\]从最低点 (0,1) 到点 (x₁, cosh x₁) 的弧长：
\[L = \int_0^{x_1} \cosh x\,dx = \sinh x_1.\]一个漂亮的结果：悬链线一段的弧长恰好等于该点的 sinh 值。
把上面这段绕 x 轴旋转，dA = 2πy ds = 2π cosh x · cosh x dx = 2π cosh²x dx：
\[A = \int_0^{x_1} 2\pi\cosh^2 x\,dx.\]用恒等式 \(\cosh^2 x = \dfrac{1+\cosh 2x}{2}\)：
\[A = 2\pi\int_0^{x_1}\frac{1+\cosh 2x}{2}\,dx = \pi\!\left[x + \frac{\sinh 2x}{2}\right]_0^{x_1} = \pi\!\left(x_1 + \sinh x_1\cosh x_1\right).\]这个“最小曲面”正是肥皂膜在两个圆环之间自然张成的形状。
1. 旋转轴和半径搞混。绕 x 轴旋转时，半径是 |y|（到 x 轴的竖直距离）；绕 y 轴旋转时，半径是 |x|。写反是最常见的丢分。
2. 弧长积分忘记开方。ds = √(dx²+dy²)，不是 dx²+dy² 本身。根号下的式子要仔细化简。
3. 参数区间取错。参数 t 的上下限必须对应曲线的起止点。比如圆 x=a cos t, y=a sin t，t∈[0,π] 只是上半圆，不是整圆。
4. 绝对值。当根号化简得到 |sin t cos t| 这类形式时，要根据 t 的区间判断正负，必要时分段或利用对称性。
问题 1：圆 x = a cos t, y = a sin t (0 ≤ t ≤ 2π) 的弧长是？
问题 2：曲线 y = f(x) (a ≤ x ≤ b) 绕 y 轴旋转的表面积微元是？
问题 3：悬链线 y = cosh x 的弧长微元 ds = ？
问题 4：星形线 x = a cos³t, y = a sin³t 的 ds = ？
x=x(t), y=y(t)，消去 t 可得直角坐标方程
ds = √((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt = √(1+(dy/dx)²) dx
绕 x 轴：2πy ds；绕 y 轴：2πx ds
cosh²x − sinh²x = 1，求导互逆
弧长和表面积常可利用对称区间化简