泰勒级数
∑ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ
MIT 18.01 · 第 37 课
多项式是我们最会算的函数。泰勒级数 (Taylor series) 把一大类函数写成“无穷次多项式”——用函数在某点的各阶导数系数构成的幂级数。掌握几个基本展开后，通过代换、逐项求导/积分，就能推出一大片函数的级数。这是单变量微积分的收官内容，也是期末的压轴考点。
这是课程最后一节新内容课。级数理论（第 36 课）是它的前提：泰勒级数就是一种幂级数，要判断它收敛到哪里，需要比值审敛法。期末考（practice final 第 18–19 题）会考展开、用级数做近似、以及逐项求导/积分。
若 f 在 x=a 处任意阶可导，则 f 在 a 处的泰勒级数为：
\[\boxed{\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n.}\]当 a=0 时称为麦克劳林级数 (Maclaurin series)：
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.\]核心思想：用 f 在一点的函数值、斜率、弯曲程度……全部局部信息，重构整个函数（至少在收敛半径内）。系数公式 \(c_n = f^{(n)}(a)/n!\) 是“让级数的 n 阶导数在 a 点等于 f⁽ⁿ⁾(a)”唯一确定的。
N 阶泰勒多项式 \(T_N(x)\) 是级数的前 N+1 项部分和。误差（余项）\(R_N(x) = f(x)-T_N(x)\) 的大小决定了级数是否收敛到 f。
18.01 范围说明：本课按教学要求，重点在展开与应用，余项估计（Taylor's inequality）只需了解存在性，不深入误差界的严格证明。
| 函数 | 麦克劳林级数 | 收敛区间 |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) | \((-\infty,\infty)\) |
| \(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \((-\infty,\infty)\) |
| \(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) | \((-\infty,\infty)\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}\) | \((-1,1]\) |
| \((1+x)^k\)（二项级数） | \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \binom{k}{n} x^n\) | \((-1,1)\)（端点视 k 而定） |
\(f^{(n)}(x)=e^x\)，所以 \(f^{(n)}(0)=1\) 对所有 n。于是：
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.\]用比值审敛法：\(|a_{n+1}/a_n| = |x|/(n+1) \to 0 < 1\)，对所有 x 收敛。
导数循环：sin x → cos x → −sin x → −cos x → sin x。在 0 处取值：0, 1, 0, −1, 0, 1, …。只有奇次项非零：
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]由几何级数 \(\dfrac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n u^n\)（|u|<1），两边从 0 到 x 积分：
\[\ln(1+x) = \int_0^x \frac{du}{1+u} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}.\]收敛区间 (−1,1]：端点 x=1 是收敛的交错调和级数；x=−1 发散。
\(\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\)（|x|<1）。逐项积分：
\[\tan^{-1}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots,\quad |x|\le 1.\]有了五个基本展开，就不必每次都从导数定义重算。常用技巧：
把基本展开中的 x 换成 g(x)。例如 \(e^{-x^2}\)：
\[e^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}.\]在收敛区间内，幂级数可以逐项求导或积分，收敛半径不变（端点可能改变）。例如从 cos x 的级数求导得 −sin x 的级数，验证一致性。
例：求 \(\dfrac{1}{(1-x)^2}\) 的级数。注意到 \(\dfrac{1}{(1-x)^2} = \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\)，而 \(\dfrac{1}{1-x}=\sum x^n\)，逐项求导：
\[\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n,\quad |x|<1.\]例：xeˣ 的级数 = x·∑xⁿ/n! = ∑xⁿ⁺¹/n!。
对任意实数 k（不必是正整数）：
\[(1+x)^k = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \binom{k}{n}x^n.\]其中广义二项系数 \(\displaystyle\binom{k}{n} = \dfrac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\)。收敛区间通常是 |x|<1。
k=1/2：
\[\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac12(-\frac12)}{2!}x^2 + \frac{\frac12(-\frac12)(-\frac32)}{3!}x^3 + \cdots = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots.\]用前几项可近似计算 √1.2：取 x=0.2，代入前四项即可精确到四位小数。
1. 混淆“泰勒级数”与“泰勒多项式”。级数是无穷项；多项式是有限项（部分和）。题目要求“前三个非零项”时，要仔细数，不要漏掉零系数项。
2. 忘记写收敛区间。一个幂级数必须指明收敛区间才算完整。用比值审敛法求收敛半径 R，再单独检查端点。
3. 逐项求导/积分后忘记调整下标。∑xⁿ 求导得 ∑n xⁿ⁻¹，n 从 1 开始（n=0 项为 0）；积分得 ∑xⁿ⁺¹/(n+1)。下标要对应。
4. 代换后收敛区间要重新算。把 x 换成 2x 后，原 |x|<1 变成 |2x|<1，即 |x|<1/2。
问题 1：sin x 的麦克劳林级数前三个非零项是？
问题 2：ln(1+x) 的麦克劳林级数收敛区间是？
问题 3：1/(1−x)² 的麦克劳林级数是？
问题 4：eˣ 的麦克劳林级数收敛半径是？
∑ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ
eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^k
代入 g(x)、逐项求导/积分得到新级数
比值审敛法求半径，单独检查端点
函数近似、求极限、积分难以处理的函数