迭代公式
\(x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)\)，来自切线逼近
MIT 18.01 · 第 13 课
手算 \(\sqrt[3]{9}\) 精确到六位有效数字，不用计算器——牛顿法用切线一次次逼近方程的根，每一步正确位数大约翻倍。本课还把这些逼近思想用于指数增长等实际估计问题。
第 9 课的线性逼近 \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) 是牛顿法的几何基础：用切线代替曲线，切线与 x 轴的交点就是下一次近似。本课把这个思想迭代化，得到求方程根的数值方法，并展示它在根号计算与指数估计中的威力。
从一个猜测 \(x_0\) 出发，过点 \((x_n, f(x_n))\) 作切线，切线与 x 轴的交点就是 \(x_{n+1}\)。切线方程：
\[y-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n).\]
令 \(y=0\) 解出切线的 x 截距，得到牛顿迭代公式：
牛顿迭代公式
\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\]
若初值 \(x_0\) 足够靠近一根（且 \(f'\) 在该根处不为零），牛顿法二次收敛——每步正确位数大约翻倍。这是它比二分法快得多的原因。
失效情形：
（作业 3 第 5 题类型）令 \(f(x)=x^3-9\)，求其正根。\(f'(x)=3x^2\)，迭代公式：
\[x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-9}{3x_n^2}=\frac{2x_n^3+9}{3x_n^2}.\]
取 \(x_0=2\)：
| n | \(x_n\) | 与 \(\sqrt[3]{9}\) 的接近程度 |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 初值 |
| 1 | \((2\cdot 8+9)/(3\cdot 4)=25/12\approx 2.08333\) | 接近 |
| 2 | \(\approx 2.08009\) | 已准到 4 位 |
| 3 | \(\approx 2.08008\) | 稳定到 6 位 |
仅三步就达到六位有效数字——牛顿法的二次收敛可见一斑。作业要求比较每一步 \(x_k\) 与 \(x_{k-1}\) 以及精确值的大小，并在 \(y=x^3-9\) 的图像上用切线几何解释这种单调逼近的由来。
（复习题 7）要使 \(f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+2\sin x}\) 在 \(x\approx 0\) 时尽可能"像常数 1"，就要消掉它的一阶变化。在 \(x=0\) 处：\(f(0)=1\)，\(f'(0)=-3\)。取 \(\epsilon\) 使得分子分的一阶项相消，可让函数在 0 附近更平——这是参数选择型逼近，思路与第 9 课的泰勒展开一脉相承。
指数增长估计：利用 \((1+x)^{1/2}\approx 1+x/2\)（一阶）和更高阶的二次逼近，可快速估算 \((1+r)^t\) 类复利增长，无需计算器。作业 2B 第 1 题（球冠面积）正是这一技巧的典型应用。
问题 1：牛顿法的迭代公式是哪一个？
问题 2：牛顿法在单根附近的收敛速度如何？
问题 3：要用牛顿法计算 \(\sqrt[3]{9}\)，应取哪个 \(f(x)\)？
问题 4：牛顿法在什么情况下会失效？
\(x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)\)，来自切线逼近
每步正确位数大致翻倍
切线与 x 轴的交点即下一次近似
初值要靠近根，否则可能发散
根号计算、指数估计、参数选择