Cramer 法则
\(x_j=|A_j(\mathbf{b})|/|A|\)，理论优雅但数值代价高。
18.06 · 第 19 课
行列式不仅是判断可逆的标量，它还是一把解题的钥匙：Cramer 法则给出线性方程组的显式解，平行多面体的体积等于行列式的绝对值，特征多项式则通向下一章的特征值理论。
设 \(A\) 为 \(n\times n\) 可逆矩阵，\(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\)。方程组 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的唯一解为：
\[x_j = \frac{|A_j(\mathbf{b})|}{|A|},\qquad j=1,2,\dots,n.\]其中 \(A_j(\mathbf{b})\) 是把 \(A\) 的第 \(j\) 列换成 \(\mathbf{b}\) 所得的矩阵。
证明思路：把 \(A\) 按列写成 \([\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n]\)，则
\[A_j(\mathbf{b}) = [\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_{j-1},\; \mathbf{b},\; \mathbf{a}_{j+1},\dots,\mathbf{a}_n].\]把 \(\mathbf{b}=x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\) 代入，利用行列式对单列的线性性，除第 \(j\) 项含 \(x_j|A|\) 外其余各项都有两列相同而为 0，即得公式。
例：解
\[\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + y = 4 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix},\; |A|=-1.\]计算
\[x = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{-1}{-1}=1,\qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{-2}{-1}=2.\]注意：Cramer 法则在理论上漂亮，但数值计算代价为 \(O(n!)\) 量级，远高于高斯消元（\(O(n^3)\)）。它主要用于理论推导与小规模手算。
设 \(A=[\mathbf{a}_1\,\mathbf{a}_2\,\cdots\,\mathbf{a}_n]\) 的列向量张成 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个平行多面体（parallelepiped）。则该平行多面体的有向体积等于 \(|A|\)，其体积等于 \(||\,|A|\,|\)。
对 \(n=2\)：\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\) 张成的平行四边形面积为 \(|a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}|\)。
对 \(n=3\)：三向量张成的平行六面体体积为 \(|\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)|\)，恰好等于 \(|A|\)。
与性质的对应：
对 \(n\times n\) 矩阵 \(A\)，定义
\[p(\lambda) = |A - \lambda I|.\]这是 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式，称为 \(A\) 的特征多项式。
关键事实：\(p(\lambda)=0\) 的根就是 \(A\) 的全部特征值（下一课会严格定义与推导）。
例：对 \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)，
\[p(\lambda) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3).\]特征值为 \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=3\)。
特征多项式的两个系数有特殊意义：
预告：下一课起我们将系统求解特征值与特征向量，并用它们对角化矩阵、研究差分与微分方程。
问题 1：Cramer 法则给出 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的解 \(x_j\) 等于？
问题 2：矩阵 \(A\) 的三个列向量在 \(\mathbb{R}^3\) 中张成的平行六面体的有向体积是？
问题 3：特征多项式 \(p(\lambda)=|A-\lambda I|\) 的常数项是？
问题 4：设 \(A\) 的全部特征值为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)，则迹 \(\operatorname{tr}(A)\) 等于？
\(x_j=|A_j(\mathbf{b})|/|A|\)，理论优雅但数值代价高。
列向量张成的平行多面体有向体积等于 \(|A|\)，把几何与代数打通。
\(p(\lambda)=|A-\lambda I|\)，其根即特征值，常数项是 \(|A|\)，一次项系数关联迹。
行列式把可逆、体积、特征值串在一起，是线性代数第一阶段的收官工具。
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