定义
\(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\)，\(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\)，方向不变的向量即特征向量。
18.06 · 第 20 课
线性代数进入新篇章：寻找那些被矩阵 \(A\) 作用后方向不变的向量。它们就是特征向量（eigenvector），缩放的比例即特征值（eigenvalue）。
设 \(A\) 为 \(n\times n\) 方阵。若存在非零向量 \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\) 与标量 \(\lambda\) 使得
\[A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x},\]则称 \(\lambda\) 为 \(A\) 的一个特征值（eigenvalue），\(\mathbf{x}\) 为对应于 \(\lambda\) 的一个特征向量（eigenvector）。
几何图景：特征向量是那些在 \(A\) 的变换下仍落在自身张成直线上的方向；特征值则衡量该方向被拉伸（\(|\lambda|>1\)）、压缩（\(|\lambda|<1\)）、反向（\(\lambda<0\)）的程度。
把定义改写为
\[(A - \lambda I)\,\mathbf{x} = \mathbf{0}.\]要存在非零解 \(\mathbf{x}\)，齐次方程组必须有非平凡解，即 \(A-\lambda I\) 不可逆：
\[|A - \lambda I| = 0.\]这是关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式方程，称为特征方程（characteristic equation）。其全部根（计入重数）就是 \(A\) 的全部特征值。
例：
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix},\qquad |A-\lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3) = 0.\]特征值为 \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=3\)。
对每个特征值 \(\lambda_i\)，解齐次方程 \((A-\lambda_i I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)。解空间
\[E_{\lambda_i} = N(A-\lambda_i I)\]称为特征空间（eigenspace），其中非零向量就是属于 \(\lambda_i\) 的全部特征向量。
对上面的例子：
注意：特征向量不能是零向量。一个特征值对应一个特征空间（维度 \(\ge 1\)），其中有无穷多个特征向量。
设 \(n\) 个特征值为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)（计入重数），则
\[\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n = \operatorname{tr}(A) = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn},\] \[\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|.\]验证上面的例子：\(\lambda_1+\lambda_2=1+3=4=\operatorname{tr}(A)=2+2\)；\(\lambda_1\lambda_2=3=|A|=4-1\)。
快速检查：求完特征值后，用迹与行列式做一次"算术校验"，能及时发现计算错误。
实矩阵的特征多项式是实系数多项式，复根必成共轭对出现：若 \(\lambda=a+bi\) 是特征值，则 \(\bar\lambda=a-bi\) 也是，且重数相同。
例如平面旋转矩阵
\[R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\]的特征值为 \(e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta\)。旋转不保留任何实特征方向，所以没有实特征向量（除非 \(\theta=0\) 或 \(\pi\)）。
若特征多项式有重根，属于同一特征值的线性独立特征向量个数（几何重数）可能小于其代数重数。
例：单位矩阵 \(I\) 的特征值全为 1（\(n\) 重），但每个非零向量都是特征向量，几何重数为 \(n\)。
例：\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\) 特征值也是 1（2 重），但特征空间只有一维（仅 \(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) 的倍数）。这种矩阵不可对角化——下节课会详细讲。
问题 1：矩阵 \(A\) 的特征值是下列哪个方程的根？
问题 2：设 \(A\) 为 \(3\times 3\) 矩阵，特征值为 \(1,2,6\)，则 \(\operatorname{tr}(A)=\)？
问题 3：上题中，\(|A|=\)？
问题 4：实矩阵的复特征值有什么特性？
\(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\)，\(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\)，方向不变的向量即特征向量。
先解 \(|A-\lambda I|=0\) 得特征值，再解 \((A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 得特征向量。
特征值的和等于迹，积等于行列式——快速校验的利器。
复特征值成共轭对；重特征值可能对应不足够多的特征向量——这决定能否对角化。
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