余子式展开
\(|A|=\sum_j a_{ij}C_{ij}\)，优先选含 0 多的行或列，计算量最小。
18.06 · 第 18 课
上一课给出了行列式的性质，这一课给出具体算法：按行（列）展开（cofactor expansion）、全排列意义下的"大公式"（big formula），以及用伴随矩阵表达逆矩阵。
设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\times n\) 矩阵。删去第 \(i\) 行与第 \(j\) 列得到的 \((n-1)\times(n-1)\) 子矩阵的行列式称为 \(M_{ij}\)（余子式，minor）。
代数余子式（cofactor）：
\[C_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}.\]符号棋盘：\((-1)^{i+j}\) 的符号按
\[\begin{bmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \cdots \\ + & - & + & \cdots \\ \vdots & & & \ddots \end{bmatrix}\]交错排列。
定理（按第 \(i\) 行展开）：
\[|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.\]同样可按第 \(j\) 列展开：
\[|A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij}.\]以 \(3\times 3\) 为例沿第一行展开：
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}.\]实用提示：展开时优先选择含 0 较多的行或列，可显著减少计算量。
行列式最"完整"的表达式是对所有排列求和：
\[|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1\sigma(1)}\,a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}.\]其中 \(S_n\) 是 \(n\) 个元素的排列群，\(\operatorname{sgn}(\sigma)\) 在偶排列时为 \(+1\)、奇排列时为 \(-1\)。对 \(n=3\) 共有 \(3!=6\) 项：
\[|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.\]项数随 \(n\) 指数增长：\(n=10\) 时已有 \(10! = 3628800\) 项。所以实际计算中我们几乎从不使用大公式，而是借助消元（\(|U|=\prod u_{ii}\)）或按行展开。
为何还要讲大公式？它在理论上把行列式显式地写成矩阵元的代数式，证明性质（如 \(|AB|=|A||B|\)）时比消元观点更直接。
记 \(C=(C_{ij})\) 为代数余子式矩阵，其转置
\[\operatorname{adj}(A) = C^{\mathsf{T}}\]称为 伴随矩阵（adjugate）。
核心恒等式：
\[A\,C^{\mathsf{T}} = C^{\mathsf{T}}A = |A|\,I.\]验证 \((i,i)\) 位置：\(A\) 的第 \(i\) 行乘以 \(C^{\mathsf{T}}\) 的第 \(i\) 列，恰好是按第 \(i\) 行展开，得 \(|A|\)。
验证 \((i,j),\,i\neq j\) 位置：\(A\) 的第 \(i\) 行乘以 \(C^{\mathsf{T}}\) 的第 \(j\) 列，相当于把 \(A\) 的第 \(j\) 行换成第 \(i\) 行后再按第 \(j\) 行展开——有两行相同，行列式为 0。
推论（逆矩阵公式）：若 \(|A|\neq 0\)，
\[A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,C^{\mathsf{T}} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A).\]以 \(2\times 2\) 为例：
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\qquad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.\]注意：伴随矩阵公式在理论上优美，但数值计算逆矩阵时用高斯消元远比算 \(n^2\) 个余子式高效。
问题 1：\(C_{12}\) 与余子式 \(M_{12}\) 的关系是？
问题 2："大公式"中，\(n\times n\) 矩阵的行列式展开共有多少项？
问题 3：设 \(\operatorname{adj}(A)\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，则逆矩阵可表为？
问题 4：求 \(\displaystyle\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}\)。
\(|A|=\sum_j a_{ij}C_{ij}\)，优先选含 0 多的行或列，计算量最小。
\(|A|=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}\)，共 \(n!\) 项，理论意义大于实用。
\(A\,C^{\mathsf{T}}=|A|I\)，由此给出 \(A^{-1}=\operatorname{adj}(A)/|A|\)。
第 \(i\) 行乘到第 \(j\) 行余子式之和为 0（\(i\neq j\)），这是伴随矩阵恒等式的副产品。
lecture_slides/lecture_19.pdflecture_summaries/lecture_2_4_summary.pdf