零空间 = 齐次方程的解
\(N(A)\) 是 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解集，是 \(\mathbb{R}^n\) 的子空间。零空间的每个向量对应列向量之间的一个线性关系。
18.06 · 第 7 课
零空间 (nullspace) \(N(A)\) 是齐次方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的所有解的集合。它是 \(\mathbb{R}^n\) 的子空间，维度为 \(n - r\)（其中 \(r\) 是秩）。零空间的"特解"揭示了矩阵列之间的线性相关性，是理解 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 解结构的关键。
矩阵 \(A\) 的零空间 (nullspace) \(N(A)\) 定义为：
\[ N(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}. \]\(N(A)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 的子空间：
零空间 = 列向量之间的线性关系。 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 意味着 \(A\) 的列向量以 \(x_i\) 为系数线性组合得到零向量。零空间中的每个向量 \(\mathbf{x}\) 都对应列向量之间的一个线性相关性。零空间越大，列向量之间的相关性越多。
行变换不改变零空间！这是求解 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的理论基础：消元把 \(A\) 变成 \(U\)（或 RREF），但解集保持不变。
例子：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}. \]消元：
得到上三角矩阵 \(U\)：
\[ U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]\(U\) 的主元在第 1 列和第 3 列，因此 \(x_1\) 和 \(x_3\) 是主变量 (pivot variables)，\(x_2\) 和 \(x_4\) 是自由变量 (free variables)。
自由变量可以任意取值；主变量由自由变量决定。我们逐个给自由变量赋值来构造零空间的基：
零空间 \(N(A)\) 是这两个特解的线性组合：
\[ N(A) = \{ c_1 \mathbf{s}_1 + c_2 \mathbf{s}_2 : c_1, c_2 \in \mathbb{R} \}. \]把 \(U\) 进一步化为行最简形 (row reduced echelon form, RREF)：
RREF 的特点是：每个主元为 1，主元所在列的其他元素为 0。从 RREF 可以直接读出特解：
与上面的结果完全一致。
零空间的维度称为零化度 (nullity)。它等于自由变量的个数：
\[ \operatorname{nullity}(A) = n - r, \]其中 \(r\) 是主元的个数（即秩），\(n\) 是未知数的个数（即列数）。
在上例中，\(n = 4\)，\(r = 2\)，因此零化度为 \(2\)，零空间是 \(\mathbb{R}^4\) 中的 2 维子空间。
行变换改变列空间，不改变零空间。 消元后 \(C(A) \neq C(U)\)，但 \(N(A) = N(U)\)。这是因为行变换保持方程组的解集不变，但改变了列向量的具体位置。行空间 \(C(A^T)\) 在行变换下保持不变。
问题 1： 矩阵 \(A\) 的零空间 \(N(A)\) 是：
问题 2： 消元法（行变换）对零空间的影响是：
问题 3： \(m\times n\) 矩阵 \(A\) 的秩为 \(r\)，则零空间的维度是：
问题 4： 在行最简形 (RREF) 中，自由变量对应：
\(N(A)\) 是 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解集，是 \(\mathbb{R}^n\) 的子空间。零空间的每个向量对应列向量之间的一个线性关系。
行变换不改变零空间。从 RREF 识别主变量和自由变量，给自由变量逐个赋值得到特解。
零空间的维度等于自由变量的个数，即 \(n - r\)。满列秩时零空间只有零向量。
\(C(A) \neq C(U)\) 但 \(N(A) = N(U)\)。列空间和零空间对行变换的响应截然不同。
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