18.06 · 第 6 课

向量空间与子空间

课程前半段的枢纽：从矩阵运算转向空间思维。向量空间是满足八条公理的集合；子空间是向量空间的子集，且自身也是向量空间。矩阵 \(A\) 的列空间 \(C(A)\) 是最重要的一类子空间——它回答了"哪些 \(\mathbf{b}\) 可被到达"这个核心问题。

授课：Prof. Gilbert Strang 日期：2010-02-17 难度：中等

学习目标

复述向量空间的定义和八条公理
区分子空间与一般子集：子空间必须包含零向量且对线性运算封闭
刻画 \(\mathbb{R}^2\) 和 \(\mathbb{R}^3\) 中的所有子空间
定义列空间 \(C(A)\) 并理解它为何是 \(\mathbb{R}^m\) 的子空间

向量空间的定义

一个向量空间 \(V\) 是一个集合，配备向量加法 \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) 和标量乘法 \(c\mathbf{v}\)，满足以下八条公理：

加法交换律：\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\)
加法结合律：\((\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})\)
零向量存在：存在 \(\mathbf{0} \in V\) 使得 \(\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}\)
负向量存在：对每个 \(\mathbf{v}\)，存在 \(-\mathbf{v}\) 使得 \(\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)
标量乘法单位元：\(1\mathbf{v} = \mathbf{v}\)
标量乘法结合律：\((cd)\mathbf{v} = c(d\mathbf{v})\)
对标量的分配律：\((c+d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}\)
对向量的分配律：\(c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}\)

最重要的例子：\(\mathbb{R}^n\)，按分量加法和标量乘法构成向量空间。

零向量必须属于空间。 任何向量空间都必须包含零向量。这意味着不过原点的直线、平面都不是向量空间——它们缺少零向量。子空间必须过原点，这是判断子空间的第一道关卡。

子空间

设 \(V\) 是向量空间。若 \(W \subseteq V\) 自身也是向量空间（使用与 \(V\) 相同的加法和标量乘法），则称 \(W\) 是 \(V\) 的子空间 (subspace)。

验证子空间只需检查三件事：

\(\mathbf{0} \in W\)（包含零向量）
对任意 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\)，有 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\)（加法封闭）
对任意标量 \(c\) 和 \(\mathbf{v} \in W\)，有 \(c\mathbf{v} \in W\)（标量乘法封闭）

后两条合称"对线性组合封闭"：对任意 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) 和标量 \(c, d\)，都有 \(c\mathbf{u} + d\mathbf{v} \in W\)。

\(\mathbb{R}^2\) 的子空间

\(\mathbb{R}^2\) 只有四种子空间：

\(\{ \mathbf{0} \}\)：只包含零向量的平凡子空间，维度为 0。
过原点的直线：形如 \(\{ c\mathbf{v} : c \in \mathbb{R} \}\)，其中 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)，维度为 1。
\(\mathbb{R}^2\) 本身：维度为 2。
空集不是子空间（缺少零向量）。

不过原点的直线不是子空间：取直线上一点 \(\mathbf{v}\)，乘以标量 \(0\) 得到 \(\mathbf{0}\)，但 \(\mathbf{0}\) 不在直线上。

\(\mathbb{R}^3\) 的子空间

\(\mathbb{R}^3\) 的子空间也完全可列：

\(\{ \mathbf{0} \}\)，维度 0。
过原点的直线，维度 1。
过原点的平面，维度 2。
\(\mathbb{R}^3\) 本身，维度 3。

维度是子空间的"大小"。 维度与我们的几何直觉一致：点是 0 维，直线是 1 维，平面是 2 维，空间是 3 维。第 7、8 课将给出维度的代数定义（主元列数 = 秩）。

列空间 \(C(A)\)

给定 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，它的列空间 (column space) \(C(A)\) 是所有列向量的线性组合的集合：

\[ C(A) = \{ A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \}. \]

\(C(A)\) 是 \(\mathbb{R}^m\) 的子空间：

\(\mathbf{0} \in C(A)\)：取 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 即得。
加法封闭：\(A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2 = A(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) \in C(A)\)。
标量乘法封闭：\(c(A\mathbf{x}) = A(c\mathbf{x}) \in C(A)\)。

列空间回答了第 1 课提出的核心问题：方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解当且仅当 \(\mathbf{b} \in C(A)\)。

例子：设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}\)。第 3 列等于第 1 列加第 2 列，因此列空间由前两列张成，是 \(\mathbb{R}^4\) 中的 2 维子空间。

列空间的维数 ≤ min(m, n)。 \(m\times n\) 矩阵的列空间是 \(\mathbb{R}^m\) 的子空间，但最多只有 \(n\) 个列向量，因此维度不超过 \(n\)。同时维度也不超过 \(m\)。满列秩时维度为 \(n\)。

四个基本子空间预览

\(m\times n\) 矩阵 \(A\) 定义了四个基本子空间：

列空间 \(C(A)\)：\(\mathbb{R}^m\) 的子空间，维度 = 秩 \(r\)。
零空间 \(N(A)\)：\(\mathbb{R}^n\) 的子空间，维度 = \(n - r\)（第 7 课）。
行空间 \(C(A^T)\)：\(\mathbb{R}^n\) 的子空间，维度 = \(r\)。
左零空间 \(N(A^T)\)：\(\mathbb{R}^m\) 的子空间，维度 = \(m - r\)。

这四个空间通过正交性联系在一起：行空间与零空间正交（\(\mathbb{R}^n\) 中），列空间与左零空间正交（\(\mathbb{R}^m\) 中）。

知识检查

问题 1： 以下哪个集合不是 \(\mathbb{R}^2\) 的子空间：

问题 2： 矩阵 \(A\) 的列空间 \(C(A)\) 是：

问题 3： 要验证 \(W\) 是向量空间 \(V\) 的子空间，需要检查：

问题 4： \(m\times n\) 矩阵 \(A\) 的列空间 \(C(A)\) 是哪个空间的子空间：

本课要点

向量空间 = 封闭的线性运算

向量空间对加法和标量乘法封闭，满足八条公理。\(\mathbb{R}^n\) 是最基本的原型。

子空间必须过原点

子空间必须包含零向量。\(\mathbb{R}^2\) 的子空间只有四种：\(\{0\}\)、直线、平面。

列空间是核心子空间

\(C(A)\) 是 \(A\) 的列向量的所有线性组合，是 \(\mathbb{R}^m\) 的子空间。方程组有解当且仅当 \(\mathbf{b} \in C(A)\)。

四个子空间预告

列空间、零空间、行空间、左零空间——它们通过维度公式和正交性联系在一起。

一手资料

lecture_slides/lecture_06.pdf
lecture_summaries/lecture_1_6_summary.pdf

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