可解性 = 列空间成员资格
\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解当且仅当 \(\mathbf{b} \in C(A)\)。RREF 可以判断这一点。
18.06 · 第 8 课
课程前半段的收官：把消元、LU 分解、列空间、零空间统一到 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的完整图景中。秩定理 \(r + \operatorname{nullity} = n\) 把列空间和零空间联系在一起，而解的结构 \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\) 给出了所有解的显式描述。
方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解当且仅当 \(\mathbf{b}\) 属于 \(A\) 的列空间 \(C(A)\)。等价地，\(\mathbf{b}\) 可以表示为 \(A\) 的列向量的线性组合。
用 RREF 判断：对增广矩阵 \([A \mid \mathbf{b}]\) 做行变换。如果某行出现 \([0 \; 0 \; \dots \; 0 \mid c]\) 且 \(c \neq 0\)，则方程组无解——\(\mathbf{b}\) 不在列空间中。
例子：
\[ [A \mid \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & \mid & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & \mid & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & \mid & b_3 \end{bmatrix}. \]消元后得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & \mid & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & \mid & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mid & b_3 - b_2 - b_1 \end{bmatrix}. \]有解的条件是 \(b_3 - b_2 - b_1 = 0\)，即 \(\mathbf{b}\) 必须满足这个线性约束。
可解性 = 列空间的成员资格。 判断 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 是否有解，等价于判断 \(\mathbf{b}\) 是否在 \(C(A)\) 中。这个观点把"解方程"转化为"判断向量归属"，是线性代数空间思维的精髓。
假设 \(\mathbf{x}_p\) 是 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的一个特解 (particular solution)，即 \(A\mathbf{x}_p = \mathbf{b}\)。设 \(\mathbf{x}_n\) 是零空间中的任意向量，即 \(A\mathbf{x}_n = \mathbf{0}\)。则
\[ A(\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n) = A\mathbf{x}_p + A\mathbf{x}_n = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}. \]因此 \(\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\) 也是解。反过来，任意两个解之差都属于零空间。
通解公式：
\[ \mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n, \quad \mathbf{x}_n \in N(A). \]几何含义：解集是零空间的一个"平移"——把整个零空间子空间移动 \(\mathbf{x}_p\) 的距离。如果零空间是 \(\mathbb{R}^4\) 中的 2 维平面，解集就是与该平面平行的另一个平面（不过原点）。
对增广矩阵 \([A \mid \mathbf{b}]\) 做行变换到 RREF。令所有自由变量为 0，解出主变量，得到特解 \(\mathbf{x}_p\)。然后令每个自由变量依次为 1（其余为 0），得到零空间的基向量 \(\mathbf{x}_{n1}, \mathbf{x}_{n2}, \dots\)。通解为：
\[ \mathbf{x} = \mathbf{x}_p + c_1 \mathbf{x}_{n1} + c_2 \mathbf{x}_{n2} + \cdots \]例子：设 RREF 为
\[ [R \mid \mathbf{d}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 & \mid & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}. \]主变量 \(x_1, x_3\)；自由变量 \(x_2, x_4\)。
通解：\(\mathbf{x} = (4, 0, 3, 0)^T + c_1(-2, 1, 0, 0)^T + c_2(2, 0, -2, 1)^T\)。
对 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，设秩为 \(r\)，零化度为 \(\operatorname{nullity}(A)\)，则
\[ r + \operatorname{nullity}(A) = n. \]这是线性代数中最重要的维度公式之一。它告诉我们：
四个子空间的维度。 秩定理统一了四个基本子空间的维度：
当 \(A\) 不是方阵时，\(PA = LU\) 分解仍然成立，但 \(L\) 和 \(U\) 的形状需要调整：
无论哪种形状，\(L\) 的对角线都是 1，\(U\) 的对角线是主元。行交换仍然由置换矩阵 \(P\) 处理。
对 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的解的情况：
| 条件 | 解的情况 |
|---|---|
| \(r = m = n\) | 唯一解（对任意 \(\mathbf{b}\)） |
| \(r = n < m\) | 0 或 1 个解（\(\mathbf{b}\) 必须在列空间中） |
| \(r = m < n\) | 无穷多解（对任意 \(\mathbf{b}\)） |
| \(r < m\) 且 \(r < n\) | 0 或无穷多解 |
满秩方阵是特例。 只有当 \(r = m = n\) 时，方程组对每个 \(\mathbf{b}\) 都有唯一解。工程中的大多数矩阵是长方阵，解的存在性和唯一性需要分别判断。
问题 1： 方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解的充要条件是：
问题 2： 若 \(\mathbf{x}_p\) 是 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的一个特解，则通解为：
问题 3： \(m\times n\) 矩阵 \(A\) 的秩定理表明：
问题 4： 若 \(r < m\) 且 \(r < n\)，则 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)：
\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解当且仅当 \(\mathbf{b} \in C(A)\)。RREF 可以判断这一点。
通解 \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\)。解集是零空间的平移。
列空间和零空间的维度之和等于总维度。四个基本子空间的维度由秩完全决定。
消元和 LU 分解对任意 \(m\times n\) 矩阵成立，形状相应调整。
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