18.06 · 第 5 课

转置、置换与向量空间

转置和置换是矩阵的两种基本对称操作。转置把行变列、列变行；置换把行或列重新排列。这两种操作看似简单，却引出了对称矩阵、正交矩阵和向量空间公理——为第 6 课正式进入"空间"概念做最后的准备。

授课：Prof. Gilbert Strang 日期：2010-02-12 难度：中等

学习目标

掌握转置的代数性质，理解对称矩阵和反对称矩阵
掌握置换矩阵的性质：\(P^{-1} = P^T\)，行列式为 \(\pm 1\)
用置换矩阵表达消元中的行交换：\(PA = LU\)
理解向量空间的八条公理，认识 \(\mathbb{R}^n\) 是最基本的原型

转置

矩阵 \(A\) 的转置 (transpose) 记作 \(A^T\)，定义为 \((A^T)_{ij} = A_{ji}\)。行变列、列变行。

例子：

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

转置的代数性质

\((A^T)^T = A\)
\((A+B)^T = A^T + B^T\)
\((cA)^T = cA^T\)
\((AB)^T = B^T A^T\) —— 顺序翻转！
\((A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\)

注意顺序翻转。 \((AB)^T = B^T A^T\) 是矩阵代数中最容易出错的公式之一。顺序翻转的根本原因是：\(AB\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列变成了第 \(j\) 行第 \(i\) 列，对应 \(B^T\) 的行和 \(A^T\) 的列。

对称矩阵

若 \(A^T = A\)，则称 \(A\) 为对称矩阵 (symmetric matrix)。对称矩阵必须是方阵，且关于主对角线镜像对称。

对称矩阵无处不在：力学中的刚度矩阵、统计学中的协方差矩阵、图论中的邻接矩阵。如果 \(A\) 是任意矩阵，则 \(A^T A\) 和 \(A A^T\) 都是对称的：

\[ (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A. \]

置换矩阵

置换矩阵 (permutation matrix) \(P\) 是把单位矩阵 \(I\) 的行（或列）重新排列得到的矩阵。它每行每列恰好有一个 1，其余为 0。

例子：交换第 1、2 行的 \(3\times 3\) 置换矩阵：

\[ P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad PA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}. \]

置换矩阵的关键性质

\(P^{-1} = P^T\)：置换矩阵的逆就是它的转置，因此置换矩阵是正交矩阵。
\(\det(P) = \pm 1\)：偶数次行交换对应 \(+1\)，奇数次对应 \(-1\)。
\(n\times n\) 置换矩阵共有 \(n!\) 个。

置换矩阵是正交矩阵的原型。 正交矩阵 \(Q\) 满足 \(Q^T Q = I\)，它的列向量构成标准正交基。置换矩阵是最简单的正交矩阵——每列只有一个 1，列向量天然正交且为单位长。

在消元中的角色

消元中的行交换可以用置换矩阵表示。带选主元的 LU 分解写作 \(PA = LU\)，其中 \(P\) 是所有行交换的累积。左乘 \(P\) 只是把 \(A\) 的行重新排列，使主元位置上总是该列中绝对值最大的元素（完全选主元）或当前列中最大的元素（部分选主元）。

向量空间公理

第 6 课将正式进入子空间的概念，这里先给出向量空间的公理框架。

一个向量空间 (vector space) \(V\) 是一个集合，配备两种运算：

加法：对任意 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\)，有 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V\)。
标量乘法：对任意标量 \(c\) 和 \(\mathbf{v} \in V\)，有 \(c\mathbf{v} \in V\)。

这两种运算必须满足八条公理（交换律、结合律、零元、负元、分配律等），这里不一一列举。

\(\mathbb{R}^n\)：最基本的向量空间

\(\mathbb{R}^n\) 是所有 \(n\) 维实数列向量的集合，按分量加法和标量乘法构成向量空间。它是整个课程的原型：我们讨论的子空间都是 \(\mathbb{R}^n\) 的子集。

\(\mathbb{R}^2\) 中的向量是平面上的箭头；\(\mathbb{R}^3\) 中的向量是空间中的箭头。高维 \(\mathbb{R}^n\) 无法可视化，但代数规则完全平行。

从矩阵到空间。 前四课围绕矩阵运算展开，第 6 课起视角切换：我们关心的不再是单个矩阵，而是矩阵所定义的空间——列空间、零空间、行空间、左零空间。矩阵只是生成空间的工具。

知识检查

问题 1： 对任意可乘矩阵 \(A, B\)，\((AB)^T\) 等于：

问题 2： 置换矩阵 \(P\) 的逆矩阵等于：

问题 3： 对称矩阵 \(A\) 必须满足：

问题 4： 以下哪个集合不是向量空间：

本课要点

转置翻顺序

\((AB)^T = B^T A^T\)，顺序翻转。对称矩阵满足 \(A^T = A\)，\(A^T A\) 对任意 \(A\) 对称。

置换矩阵是正交矩阵

\(P^{-1} = P^T\)，行列式为 \(\pm 1\)。置换矩阵是消元中行交换的代数载体。

\(PA = LU\)

带选主元的消元对应左乘置换矩阵，把行交换集中到最左边。

向量空间是舞台

向量空间对加法和标量乘法封闭。\(\mathbb{R}^n\) 是原型，子空间是 \(\mathbb{R}^n\) 中过原点的"平坦"子集。

一手资料

lecture_slides/lecture_05.pdf
lecture_summaries/lecture_1_5_summary.pdf

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