三重积分
三种坐标系，根据对称性选择，记住体积元。
MIT 18.02 · 第 35 课
系统复习第三单元（向量分析）：三重积分、曲面积分、散度定理、Stokes 定理，以及三大定理的综合应用策略。
本次复习课聚焦第三单元：Triple Integrals, Surface Integrals & Vector Calculus（Lecture 25–33）。这是课程最综合、最考验分析能力的部分，也是期末考试的重点。
核心思想：第三单元的精髓是三大定理——散度定理、Stokes 定理、微积分基本定理。它们建立了不同维度积分之间的联系，是整门课程的巅峰。
三种坐标系下的体积元：
直角坐标：\(dV = dx\,dy\,dz\)
柱坐标：\(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\)
球坐标：\(dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)
选择策略：
应用：体积、质量 \(M=\iiint\delta\,dV\)、质心、转动惯量、引力。
通量：\(\Phi = \iint_S \vec F\cdot\hat n\,dS = \iint_S \vec F\cdot\vec{dS}\)。
面积元公式汇总：
注意：考试时必须记住这些公式。关键是 \(\vec{dS}=\hat n\,dS\) 作为一个整体，不要拆开。
三种微分运算：
梯度：\(\nabla f = \langle f_x,f_y,f_z\rangle\)
散度：\(\nabla\cdot\vec F = P_x+Q_y+R_z\)
旋度：\(\nabla\times\vec F = \langle R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y\rangle\)
基本恒等式：
\[\nabla\times(\nabla f)=\vec 0,\qquad \nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0.\]梯度场判别：在单连通区域，\(\vec F=\nabla f \iff \nabla\times\vec F=\vec 0\)。
散度定理（Gauss-Green）：
\[\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS} = \iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV.\]
Stokes 定理：
\[\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS.\]
微积分基本定理：
\[f(P_1)-f(P_0) = \int_C \nabla f\cdot d\vec r.\]
核心思想：
• 闭曲面上的通量 → 散度定理
• 闭曲线上的环量 → Stokes 定理
• 梯度场的线积分 → 微积分基本定理
关键观察：三大定理的两边都是我们已经学过的积分类型。看到 div 或 curl，就想到对应的定理。
问题 1：计算向量场通过闭曲面 \(S\) 的通量 \(\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS}\)，最合适的定理是？
问题 2：计算球面 \(x^2+y^2+z^2\le 1\) 在锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 上方的体积，最适合用？
问题 3：\(\vec F=\langle x,y,z\rangle\) 穿过半径 \(a\) 的球面（外法向）的通量是？
三种坐标系，根据对称性选择，记住体积元。
通量 = \(\vec F\cdot\vec{dS}\)，记住各类曲面的面积元公式。
散度定理、Stokes 定理、微积分基本定理，根据问题类型选择。
识别类型 → 考虑转化 → 选坐标 → 用对称性 → 验证。
study_materials/prac3a.pdf（往年试题）study_materials/prac4bsol.pdf（往年试题解答）