第一单元
向量运算、平面方程、矩阵与行列式。
MIT 18.02 · 第 34 课
系统复习第一、二单元的核心概念与公式：向量与矩阵、偏导数与梯度、重积分与变量替换、线积分与 Green 定理。
本次复习课主要回顾第一单元（向量与矩阵）和第二单元（偏导数与重积分）的核心内容，为期末考试做准备。第三单元（向量分析）将在下一节课继续复习。
核心思想：期末复习的关键是建立知识框架。每个单元都有核心对象和核心定理：第一单元处理向量，第二单元处理函数的变化与累积，第三单元处理向量场与积分定理。
梯度：\(\nabla f = \langle f_x,f_y,f_z\rangle\)，方向导数 \(D_{\vec u}f = \nabla f\cdot\vec u\)。
设 \(f(x,y,z)\)，\(x,y,z\) 都是 \(t\) 的函数，则
\[\frac{df}{dt} = f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}+f_z\frac{dz}{dt} = \nabla f\cdot\frac{d\vec r}{dt}.\]约束极值：在约束 \(g=c\) 下求 \(f\) 的极值，解
\[\nabla f = \lambda\nabla g,\qquad g=c.\]
Hessian 行列式 \(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)：\(D>0,f_{xx}>0\) 极小；\(D>0,f_{xx}<0\) 极大；\(D<0\) 鞍点。
极坐标面积元：\(dA = r\,dr\,d\theta\)。
积分次序交换、投影法确定积分限。
Jacobian：\(dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv\)，其中 Jacobian 行列式 \(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}\)。
柱坐标 \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\)，球坐标 \(dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)。详见第三单元复习。
Green 定理：
\[\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_R (Q_x-P_y)\,dA\quad\text{（做功形式）}\]
\[\oint_C \vec F\cdot\hat n\,ds = \iint_R \nabla\cdot\vec F\,dA\quad\text{（通量形式）}\]
保守场判别：\(\vec F=\nabla f \iff P_y=Q_x\)（单连通区域）。势函数求法、路径无关。
注意：期末考试中第一、二单元约占 40–50%。重点掌握：梯度与 Lagrange 乘子的计算、二重积分的极坐标与变量替换、Green 定理的应用。
问题 1：函数 \(f\) 在一点处增长最快的方向是？
问题 2：极坐标下的面积元 \(dA\) 是？
问题 3：Green 定理的做功形式是？
向量运算、平面方程、矩阵与行列式。
梯度、方向导数、Lagrange 乘子、二阶导数判别法。
极坐标、变量替换、Jacobian。
做功形式与通量形式，保守场判别。
study_materials/prac1a.pdf（往年试题）study_materials/prac2a.pdf（往年试题）