三大定理
微积分基本定理、散度定理、Stokes 定理——课程骨架。
MIT 18.02 · 第 36 课
期末考试备考指南：整门课程的知识框架、核心公式、三大定理与应试策略。
MIT 18.02 期末考试覆盖全课程 36 讲的内容，分为三大单元：
核心思想：期末考试的本质是检验你对三大定理的理解与应用：微积分基本定理（线积分与梯度）、散度定理（通量与散度）、Stokes 定理（环量与旋度）。掌握这三个定理，就掌握了整门课的骨架。
极坐标：\(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta\)
柱坐标：\(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z,\;dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)
球坐标：\(x=\rho\sin\phi\cos\theta,\;y=\rho\sin\phi\sin\theta,\;z=\rho\cos\phi,\;dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)
梯度：\(\nabla f = \langle f_x,f_y,f_z\rangle\)
散度：\(\nabla\cdot\vec F = P_x+Q_y+R_z\)
旋度：\(\nabla\times\vec F = \langle R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y\rangle\)
Laplace：\(\nabla^2 f = f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\)
曲面 \(z=f(x,y)\)：\(\vec{dS}=\pm\langle -f_x,-f_y,1\rangle\,dx\,dy\)
球面 \(\rho=a\)：\(\hat n=\dfrac{1}{a}\langle x,y,z\rangle,\;dS=a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\)
圆柱面 \(r=a\)：\(\hat n=\dfrac{1}{a}\langle x,y,0\rangle,\;dS=a\,dz\,d\theta\)
变量替换：\(dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv\)。
1. 微积分基本定理（线积分版）：
\[f(P_1)-f(P_0) = \int_C \nabla f\cdot d\vec r.\]
2. 散度定理（Gauss-Green）：
\[\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS} = \iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV.\]
3. Stokes 定理：
\[\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS.\]
核心思想：三大定理的统一图景——边界上的积分 = 内部微分的积分。微积分基本定理（1D 边界 ↔ 1D 内部）、Stokes 定理（1D 边界 ↔ 2D 内部）、散度定理（2D 边界 ↔ 3D 内部）。
基本恒等式：
\[\nabla\times(\nabla f)=\vec 0\quad\text{（梯度的旋度为零）}\]
\[\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0\quad\text{（旋度的散度为零）}\]
这两个恒等式是 Stokes 定理和散度定理成立的基础，也是梯度场和旋度场之间关系的体现。
期末考试通常 3 小时，6–8 道大题。建议：
注意：以下是历年学生最常犯的错误：
prac1a.pdf 至 prac4bsol.pdf 是最好的练习材料。问题 1：计算向量场沿闭曲线 \(C\) 的环量 \(\oint_C \vec F\cdot d\vec r\)，可以转化为？
问题 2：\(\nabla\times(\nabla f)\) 等于？
问题 3：圆柱 \(x^2+y^2\le 2\)，\(0\le z\le 2\) 的体积是？
微积分基本定理、散度定理、Stokes 定理——课程骨架。
体积元、面积元、del 算子、Jacobian——务必熟记。
识别类型、选坐标系、用定理、画图、验证。
漏 Jacobian、混淆定理、定向错误、忽略单连通性。
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