力场旋度
力场/质量的旋度 = 2 × 角加速度/转动惯量，衡量旋转效应。
MIT 18.02 · 第 33 课
把散度和旋度应用于物理学：力场的旋度对应力矩与角加速度，势场无旋不产生转动；最后用 div 和 curl 统一写出 Maxwell 方程组。
核心思想：向量分析不仅是数学工具，更是物理学的语言。Maxwell 方程组用四个 div/curl 方程统一描述了电磁现象，而 Stokes 定理和散度定理把这四个方程在积分形式与微分形式之间转换。
设一个物体处于力场 \(\vec F\) 中（更准确地说，是加速度场）。物体上一小块 \(\Delta m\) 受到力 \(\vec F\,\Delta m\)。
平动：由 Newton 第二定律
\[\frac{\text{Force}}{\text{Mass}} = \text{加速度} = \frac{d}{dt}(\text{速度}).\]转动：力矩 (torque) 定义为 \(\vec\tau = \vec r\times\vec F\)，则
\[\frac{\text{Torque}}{\text{Moment of inertia}} = \text{角加速度} = \frac{d}{dt}(\text{角速度}).\]因此
\[\frac{\text{Force}}{\text{Mass}} = \vec F,\qquad \frac{\text{Torque}}{\text{Moment of inertia}} = \frac{\vec r\times\vec F}{I}.\]旋度的物理含义：
\[\nabla\times\Bigl(\frac{\text{Force}}{\text{Mass}}\Bigr) = 2\times\frac{\text{角加速度}}{\text{转动惯量}}.\]
即力场除以质量后的旋度的两倍，等于"单位转动惯量的角加速度"。
若力场是势场（保守场），即 \(\vec F=\nabla f\)，则
\[\nabla\times\vec F = \nabla\times(\nabla f) = \vec 0.\]恒等式：\(\nabla\times(\nabla f)=\vec 0\) —— 梯度的旋度恒为零。这是向量分析的另一基本恒等式。
因此势场不会诱发放物体的旋转运动。例如，引力本身不会影响地球的自转。
注意：严格来说，地球是可变形的，潮汐摩擦等效应确实会影响自转（月球的自转与公转同步就是潮汐锁定的结果）。但在刚体近似下，势场确实不产生转动。
运动分解总结：
Maxwell 方程组是电磁学的基本方程，描述了电场 \(\vec E\) 和磁场 \(\vec B\) 与电荷、电流的关系。
微分形式：
\[\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0},\]
其中 \(\rho\) 是电荷密度，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。
物理含义：电荷是电场的源。正电荷发出电场线，负电荷吸收电场线。
积分形式（用散度定理）：
\[\oiint_S \vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_D \rho\,dV = \frac{Q}{\varepsilon_0},\]即通过闭曲面的电通量 = 内部总电荷 / \(\varepsilon_0\)。这是电容器、静电学的基础。
微分形式：
\[\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}.\]
物理含义：变化的磁场产生电场的旋度。若磁场随时间变化，电场不再是保守场！
积分形式（用 Stokes 定理）：
\[\oint_C \vec E\cdot d\vec r = -\frac{d}{dt}\iint_S \vec B\cdot\hat n\,dS.\]即沿闭曲线的电压（电动势）= 磁通量的变化率。这是电磁感应的数学表达。
核心思想：变压器的工作原理就是 Faraday 定律：初级线圈中的交流电产生交变磁场，次级线圈中的磁通量变化产生感应电压。
微分形式：
\[\nabla\cdot\vec B = 0.\]
物理含义：不存在磁单极子。磁场线总是闭合的，没有起点和终点。
积分形式：\(\displaystyle\oiint_S \vec B\cdot\hat n\,dS = 0\)，即通过任何闭曲面的磁通量恒为零。
微分形式：
\[\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec E}{\partial t},\]
其中 \(\vec J\) 是电流密度，\(\mu_0\) 是真空磁导率。
物理含义：电流和变化的电场都能产生磁场的旋度。Maxwell 加入了位移电流项 \(\varepsilon_0\mu_0\,\partial\vec E/\partial t\)，这是电磁波理论的关键。
Maxwell 方程组（微分形式）：
\[\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\quad\text{（电荷产生电场）}\]
\[\nabla\cdot\vec B = 0\quad\text{（无磁单极子）}\]
\[\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}\quad\text{（变化磁场产生电场）}\]
\[\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}\quad\text{（电流与变化电场产生磁场）}\]
这四个方程加上 Lorentz 力公式 \(\vec F = q(\vec E + \vec v\times\vec B)\)，就完整描述了经典电磁学。
核心思想：Maxwell 方程组是向量分析的巅峰应用。散度描述"源"（电荷产生电场），旋度描述"感应"（变化场产生旋度场）。Stokes 定理和散度定理是积分形式与微分形式之间的桥梁。
问题 1：为什么势场（保守力场）不会诱发放物体的旋转？
问题 2：Faraday 电磁感应定律的微分形式是？
问题 3：\(\nabla\cdot\vec B=0\) 的物理意义是？
力场/质量的旋度 = 2 × 角加速度/转动惯量，衡量旋转效应。
\(\nabla\times(\nabla f)=\vec 0\)，势场不产生转动。
四个 div/curl 方程统一电磁学，积分与微分形式由散度定理和 Stokes 定理联系。
Faraday 定律 \(\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t\)，变压器的工作原理。
lecture_notes/week_14_summary.pdf