MIT 18.02 · 第 32 课

Stokes' Theorem Continued; Review (Stokes 定理续)

深入 Stokes 定理的拓扑内涵：单连通性、可定向性、曲面无关性，并系统复习第三单元三大类积分与三大定理。

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学习目标

• 理解单连通性 (simply connected) 如何保证"无旋 ⇒ 保守"。
• 理解可定向性 (orientability) 对 Stokes 定理的重要性。
• 系统梳理第三单元三大类积分、三大定理及其相互关系。
• 掌握根据问题类型选择合适定理的策略。

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单连通性与路径无关

例子：

• 非单连通：去掉 \(z\) 轴的空间。绕 \(z\) 轴的闭曲线无法在区域内张成曲面（会碰到被去掉的轴）。
• 单连通：去掉原点的空间（在三维中）。任何闭曲线都可以"滑过去"绕过原点。

证明：设 \(C_1,C_2\) 是两条端点相同的曲线。则 \(C=C_1-C_2\) 是闭曲线，由单连通性可张成曲面 \(S\)。由 Stokes 定理：

\[\int_{C_1}\vec F\cdot d\vec r - \int_{C_2}\vec F\cdot d\vec r = \oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS = 0.\]

所以 \(\displaystyle\int_{C_1}=\int_{C_2}\)，路径无关得证。

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可定向性

Stokes 定理要求曲面 \(S\) 有良定义的法向量。

如果要用 Stokes 定理处理 Möbius 带的边界曲线，需要找一个双侧曲面以该曲线为边界。

拓扑学应用：可定向性可以区分不同曲面。球面是单连通的，环面 (torus) 不是——这严格证明了球面与环面"不同"。

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曲面无关性的直接证明

设 \(S_1,S_2\) 都以 \(C\) 为边界（相容定向）。Stokes 定理说

\[\iint_{S_1}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS = \iint_{S_2}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS.\]

直接证明：把 \(S_2\) 反向，则 \(S=S_1-S_2\) 是闭曲面（外法向）。由散度定理：

\[\oiint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS = \iiint_D \nabla\cdot(\nabla\times\vec F)\,dV = 0,\]

因为 \(\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)\equiv 0\)（符号上类似 \(\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)=0\)）。所以两个曲面的通量相等。

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第三单元总复习

第三单元学习了三大类积分：

三类积分

1. 三重积分 \(\displaystyle\iiint_R f\,dV\)：直角坐标、柱坐标、球坐标。应用：体积、质量、质心、转动惯量、引力。
2. 曲面积分（通量） \(\displaystyle\iint_S \vec F\cdot\hat n\,dS\)：记住 \(\hat n\,dS\) 公式，参数化计算。
3. 线积分 \(\displaystyle\int_C \vec F\cdot d\vec r\)：参数化曲线，单变量积分。

三大定理

• 散度定理：\(\displaystyle\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS} = \iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV\) —— 通量 ↔ 散度。
• Stokes 定理：\(\displaystyle\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat n\,dS\) —— 环量 ↔ 旋度。
• 微积分基本定理：\(\displaystyle f(P_1)-f(P_0)=\int_C \nabla f\cdot d\vec r\) —— 无积分 ↔ 线积分。

选择定理的策略

注意：三大定理的两边都是我们已经学过的积分类型，只是被积函数变成了散度或旋度。计算方法不变。

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知识检查

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本课要点

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一手资料

• lecture_notes/week_13_summary.pdf
• 官方课程主页：MIT OCW 18.02

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