MIT 18.02 · 第 7 课

向量与矩阵复习 (Unit I Review)

Unit I 收官复习：把向量、点积、叉积、行列式、矩阵、平面方程与参数方程串成一条线，为期考做准备。

授课：Denis Auroux 日期：2007-09-20 难度：中等

考试范围概览

考试覆盖课堂讲过的所有内容，题型与《Practice 1A》类似、或略难。课堂上明确列出四大板块（题号以 Practice 1A 为准）：

投影分量：\(\vec{A}\cdot\hat{u}=|\vec{A}|\cos\theta\)。
2D 行列式：\(\det(\vec{A},\vec{B})=a_1b_2-a_2b_1=\pm\) 平行四边形面积。
3D 行列式：\(\det(\vec{A},\vec{B},\vec{C})=\pm\) 平行六面体体积。
叉积 \(\vec{A}\times\vec{B}\)：模长 = 面积，方向由右手定则决定；\(\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}\)。
三重积：\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\det(\vec{A},\vec{B},\vec{C})=\pm\) 体积。
平面方程 \(ax+by+cz=d\)：系数就是法向量；可用平面上两向量的叉积求法向量。
空间三角形面积 = \(\frac12|\vec{A}\times\vec{B}|\)。

矩阵乘法：元 = 行与列的点积；\((AB)X=A(BX)\) 表示先 \(B\) 后 \(A\)。
不可交换：一般 \(AB\neq BA\)。
逆矩阵：\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)，解 \(AX=U\) 等价于 \(X=A^{-1}U\)。
余子式法：\(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\)，步骤为 minors → cofactors → 转置 → 除以 \(\det A\)。
\(3\times3\) 系统 = 三张平面相交：\(\det A\neq0 \iff\) 唯一解 \(X=A^{-1}B\)。
\(\det A=0 \iff A\) 不可逆：无穷多解或无解；几何上法向量共面。
齐次系统 \(AX=0\)：总有零解；\(\det A=0\) 时有非零的无穷多解。

直线参数方程：\(\vec{Q}(t)=\vec{Q}_0+t\vec{v}\)。
点相对于平面：代入 \(ax+by+cz\) 与 \(d\) 比较。
线面交点：代入参数方程，解 \(t\)。
摆线：\(\langle a\theta-a\sin\theta,\;a-a\cos\theta\rangle\)，由位矢分解得到。
速度 \(\vec{v}=d\vec{r}/dt\)，加速度 \(\vec{a}=d\vec{v}/dt\)，速率 \(|\vec{v}|\neq d|\vec{r}|/dt\)。
单位切向量 \(\hat{T}=\vec{v}/|\vec{v}|\)，\(d\vec{r}/dt=\hat{T}|\vec{v}|\)。
Kepler 第二定律：面积速度恒定 \(\iff\) \(\vec{r}\times\vec{v}=\) 常数 \(\iff\) \(\vec{r}\times\vec{a}=0\) \(\iff\) 有心力。

核心思想：Unit I 的主线是"用代数（分量、矩阵）做几何（方向、面积、平面、运动）"。点积处理"夹角与垂直"，叉积处理"面积与法向"，行列式处理"体积与可逆性"，矩阵处理"线性变换与方程组"。掌握它们之间的对应，就掌握了整个单元。

问题 1：已知 \(|\vec{A}|=3\)，\(|\vec{B}|=4\)，\(\vec{A}\cdot\vec{B}=6\)，则夹角 \(\theta\) 的余弦是？

问题 2：Kepler 第二定律（面积速度恒定）等价于？

问题 3：\(3\times3\) 线性系统 \(AX=B\) 有唯一解的充要条件是？

问题 4：关于叉积，下列哪项正确？

夹角、垂直、投影——点积是"角度工具"。

面积、体积、法向——叉积是"面积工具"。

线性变换与方程组——矩阵是"变换工具"。

系数 = 法向量，三平面相交对应 \(3\times3\) 系统。

参数方程、速度、加速度、Kepler 第二定律。