速度与加速度
\(\vec{v}=d\vec{r}/dt\)，\(\vec{a}=d\vec{v}/dt\)，速率=\(|\vec{v}|\neq d|\vec{r}|/dt\)。
MIT 18.02 · 第 6 课
对位矢求导得到速度与加速度，用向量方法干净地证明 Kepler 第二定律等价于有心力。
位矢 \(\vec{r}(t)=x(t)\hat{\imath}+y(t)\hat{\jmath}[+z(t)\hat{k}]\) 给出运动点在时刻 \(t\) 的位置。
定义： \[\text{速度 (velocity) }\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left\langle\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right\rangle,\quad \text{加速度 (acceleration) }\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.\] 速率 (speed) 是速度的模：\(|\vec{v}|\)。
对摆线 \(\vec{r}(t)=\langle t-\sin t,\;1-\cos t\rangle\)（这里取 \(a=1\)）：
注意：速率 \(\left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|\) 不等于 \(\frac{d}{dt}|\vec{r}|\)。前者是速度的模（路径切向的速率），后者是位矢长度的变化率（径向的伸长速率）。
记 \(s\) 为沿轨迹走过的弧长 (arclength)，则
\[\frac{ds}{dt} = |\vec{v}|.\]虽然可以用积分 \(\int |\vec{v}|\,dt\) 求轨迹长度，但通常并不容易——例如摆线一拱的长度是 \(\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt\)，这个积分并不初等。
单位切向量 (unit tangent vector)： \[\hat{T} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}.\] 由 \(\Delta \vec{r}\approx \hat{T}\,\Delta s\) 两边除以 \(\Delta t\) 并取极限得到 \[\frac{d\vec{r}}{dt} = \hat{T}\,|\vec{v}|.\]
1609 年 Kepler 提出行星运动定律：行星的轨道在一张平面内，且从太阳到行星的连线在相等时间内扫过相等的面积。约 70 年后 Newton 用万有引力解释了它。
在 \(\Delta t\) 内，从太阳（原点）到行星的位矢 \(\vec{r}\) 扫过的面积约等于以 \(\vec{r}\) 和 \(\Delta \vec{r}\) 为边的三角形面积：
\[\Delta A \approx \frac12\,|\vec{r}\times\Delta\vec{r}| \approx \frac12\,|\vec{r}\times\vec{v}|\,\Delta t.\]于是面积速度 (areal velocity)
\[\frac{dA}{dt} = \frac12\,|\vec{r}\times\vec{v}|.\]Kepler 第二定律说 \(\frac{d}{dt}(\text{面积})\) 为常数，即
\[\boxed{\;\vec{r}\times\vec{v} = \text{常数向量}\;}\]对向量函数求导时，积法则仍然成立，但要注意叉积的顺序：
\[\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{v}) = \frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{v} + \vec{r}\times\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{v}\times\vec{v} + \vec{r}\times\vec{a} = \vec{r}\times\vec{a}.\]于是得到一串等价关系：
\[\vec{r}\times\vec{v}=\text{常数} \iff \frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{v})=\vec{0} \iff \vec{r}\times\vec{a}=\vec{0} \iff \vec{a}\parallel\vec{r}.\]加速度平行于位矢，意味着力 \(\vec{F}=m\vec{a}\) 始终沿着 \(\vec{r}\) 方向——这就是有心力 (central force)。
核心思想：Kepler 第二定律看似是几何的（面积速度恒定），翻译成向量语言后变成"角动量 \(\vec{r}\times\vec{v}\) 守恒"，而这正等价于"力是有心的"。向量方法把天文观测与力学原理干净地连接起来。
注：这一定律对任何有心力都成立——例如电荷之间的库仑力。
问题 1：若 \(\vec{r}(t)=\langle t-\sin t,\,1-\cos t\rangle\)，则 \(\vec{v}(t)\) 是？
问题 2：速率 \(\left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|\) 与 \(\frac{d}{dt}|\vec{r}|\) 的关系是？
问题 3：Kepler 第二定律用向量表示为？
问题 4：Kepler 第二定律等价于"力是有心力"，其关键一步是？
\(\vec{v}=d\vec{r}/dt\)，\(\vec{a}=d\vec{v}/dt\)，速率=\(|\vec{v}|\neq d|\vec{r}|/dt\)。
\(ds/dt=|\vec{v}|\)，\(\hat{T}=\vec{v}/|\vec{v}|\)，\(d\vec{r}/dt=\hat{T}|\vec{v}|\)。
\(dA/dt=\frac12|\vec{r}\times\vec{v}|\)；Kepler 说它恒定。
\(\vec{r}\times\vec{v}=\) 常数 \(\iff \vec{r}\times\vec{a}=\vec{0} \iff \vec{a}\parallel\vec{r}\)。
lecture_notes/week_03_summary.pdflecture_notes/kepler_secnd_law.pdf（Kepler 第二定律讲义）