等高线图
用 \(f(x,y)=c\) 在 \(xy\) 平面上画出曲线族，直观反映函数值分布。
MIT 18.02 · 第 8 课
从二元函数的图像出发，引入等高线（level curves）直观刻画函数变化，定义偏导数（partial derivatives）并给出切平面（tangent plane）方程与线性近似。
对于一元函数 \(y=f(x)\)，图像是平面上的一条曲线，导数是切线斜率。对于二元函数 \(z=f(x,y)\)，图像是三维空间中的一个曲面。我们用平行于坐标平面的平面去截曲面，得到交线来研究曲面形状。
核心思想：通过固定一个变量，把二元问题化成一元问题来观察。
例如 \(z=-y\) 是一个平面；\(z=1-x^2-y^2\) 是一个开口向下的旋转抛物面。
用水平平面 \(z=c\) 去截曲面 \(z=f(x,y)\)，交线在 \(xy\) 平面上的投影曲线
\[ f(x,y)=c \]称为函数 \(f\) 的一条等高线（level curve，也称等高线 contour line）。把所有不同常数 \(c\) 对应的等高线画在同一平面上，就得到等高线图（contour plot）。
现实中的例子：
等高线图能直观告诉我们函数值变化的快慢：等高线越密，函数变化越快；越稀疏，变化越慢。
常见例子：
\(z=x^2+y^2\)：等高线是以原点为圆心的同心圆（越往外越密，因为梯度增大）。
\(z=y^2-x^2\)：等高线是双曲线，原点处是鞍点（saddle point）。
给定 \(f(x,y)\)，固定 \(y=y_0\)，让 \(x\) 变化，得到的变化率就是对 \(x\) 的偏导数：
\[ f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x} \]类似地，固定 \(x=x_0\) 可得对 \(y\) 的偏导数 \(f_y\)。
几何意义：\(f_x\) 是曲面与平面 \(y=y_0\) 的交线在 \((x_0,y_0)\) 处的切线斜率；
\(f_y\) 是曲面与平面 \(x=x_0\) 的交线在 \((x_0,y_0)\) 处的切线斜率。
计算方法：求 \(f_x\) 时把 \(y\) 看作常数，对 \(x\) 求导；求 \(f_y\) 时把 \(x\) 看作常数，对 \(y\) 求导。
例题：设 \(f(x,y) = x^3y + y^2\)，则
\(f_x = 3x^2y\)（把 \(y\) 当常数），
\(f_y = x^3 + 2y\)（把 \(x^3\) 当常数）。
在点 \((x_0,y_0)\) 处，我们有两个切线：
这两条相交直线唯一确定一个平面——曲面的切平面（tangent plane）。
切平面方程：在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处，其中 \(z_0 = f(x_0,y_0)\)，
\[ z = z_0 + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) \]
当 \((x,y)\) 接近 \((x_0,y_0)\) 时，曲面可以用切平面近似，即线性近似（linear approximation）：
\[ \Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y \]其中 \(\Delta f = f(x,y)-f(x_0,y_0)\)，\(\Delta x = x-x_0\)，\(\Delta y = y-y_0\)。
注意：线性近似只在 \((x,y)\) 靠近 \((x_0,y_0)\) 时准确；离得越远误差越大。
问题 1：设 \(f(x,y)=x^3y+y^2\)，则 \(f_x(x,y)\) 等于？
问题 2：在等高线图上，某区域等高线非常密集，这表明在该区域函数对 \(x\) 的偏导数 \(f_x\) 有什么特征？
问题 3：曲面 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面方程是？
用 \(f(x,y)=c\) 在 \(xy\) 平面上画出曲线族，直观反映函数值分布。
\(f_x\) 表示固定 \(y\) 后关于 \(x\) 的变化率；几何上是竖直切面的切线斜率。
由 \(f_x, f_y\) 决定，方程为 \(z = z_0 + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)\)。
\(\Delta f \approx f_x \Delta x + f_y \Delta y\)，是切平面的代数表达。
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