直线参数方程
\(\vec{Q}(t)=\vec{Q}_0+t\vec{v}\)，\(\vec{v}\) 为方向向量。
MIT 18.02 · 第 5 课
把直线看作动点的轨迹，用参数方程描述它，并把它与平面的相交问题化为求解一个参数。
前面我们见过直线作为两张平面的交线。另一种看法是把直线看作一个运动点的轨迹：
\[\vec{Q}(t) = \vec{Q}_0 + t\vec{v}.\]其中 \(\vec{Q}_0\) 是 \(t=0\) 时的起点，\(\vec{v}\) 是"速度"向量（方向沿直线），\(t\) 是参数（可正可负）。
设 \(Q_0=(-1,2,2)\)，\(Q_1=(1,3,-1)\)。动点从 \(Q_0\) 出发、以常速沿直线运动，\(t=1\) 时到达 \(Q_1\)，则速度
\[\vec{v} = \overrightarrow{Q_0Q_1} = \langle 2,1,-3\rangle.\]参数方程为 \(\langle x+1,\,y-2,\,z-2\rangle = t\langle 2,1,-3\rangle\)，即
\[\begin{cases} x(t) = -1+2t,\\ y(t) = 2+t,\\ z(t) = 2-3t. \end{cases}\]问题：点 \(Q_0=(-1,2,2)\)、\(Q_1=(1,3,-1)\) 相对于平面 \(x+2y+4z=7\) 的位置关系是（同侧 / 异侧 / 其一在平面上 / 无法判断）？
解法：把坐标代入平面方程左边：
一个大于 \(d\)、一个小于 \(d\)，故两点在平面的异侧 (opposite sides)。
注意：不少同学错误地认为有一个点在平面上。代入验算是避免这类误判的可靠方法。
何时动点 \(\vec{Q}(t)\) 落在平面上？把参数方程代入平面方程：
\[x(t)+2y(t)+4z(t)=(-1+2t)+2(2+t)+4(2-3t)=11-8t.\]令其等于 7：\(11-8t=7\)，解得 \(t=\frac{1}{2}\)。交点为
\[\vec{Q}\!\left(\tfrac12\right) = (0,\tfrac52,\tfrac12).\]退化情况：若把 \(\vec{Q}(t)\) 代入平面方程后得到的是常数，则：常数 \(=7\) 时直线在平面内（所有 \(t\) 都是解）；常数 \(\neq7\) 时直线与平面平行（无解）。
接下来我们研究更一般的参数曲线。摆线是车轮在地面上滚动时，轮缘上一点 \(P\) 画出的轨迹。
设车轮半径为 \(a\)，地面为 \(x\) 轴，\(P\) 的初始位置为原点。取参数 \(\theta\) = 车轮转过的角度。车轮前进的弧长 = \(a\theta\)。
记 \(A\) = 车轮与地面的接触点，\(B\) = 轮心。把位矢分解：
\[\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}.\]于是
\[\overrightarrow{OP} = \langle a\theta-a\sin\theta,\;a-a\cos\theta\rangle.\]闪卡题：在最低点（\(\theta\to0\)）附近，摆线的形状是（左右都有穷斜率的尖点 / 环形 / 水平切线的光滑点 / 竖直切线 (cusp)）？
解法：用泰勒展开 \(\sin\theta\approx\theta-\frac{\theta^3}{6}\)，\(\cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}{2}\)：
\[x(\theta)\approx \frac{a\theta^3}{6},\qquad y(\theta)\approx \frac{a\theta^2}{2}.\]当 \(\theta\to0\) 时，
\[\frac{y}{x}\approx \frac{a\theta^2/2}{a\theta^3/6} = \frac{3}{\theta}\to\infty,\]说明切线竖直——即摆线在最低点有一个竖直切线的尖点 (vertical cusp)。
核心思想：参数方程把"运动"本身作为第一公民。通过分解位矢为简单运动之和，我们能系统地建立复杂曲线的方程，并用泰勒展开分析局部行为。
问题 1：过 \(Q_0=(-1,2,2)\) 与 \(Q_1=(1,3,-1)\) 的直线的方向向量是？
问题 2：判断点相对于平面 \(x+2y+4z=7\) 的位置，最可靠的方法是？
问题 3：摆线的参数方程 \(\langle a\theta-a\sin\theta,\;a-a\cos\theta\rangle\) 中，\(a\theta\) 这一项代表？
问题 4：摆线在最低点（\(\theta=0\)）附近的切线方向是？
\(\vec{Q}(t)=\vec{Q}_0+t\vec{v}\)，\(\vec{v}\) 为方向向量。
代入 \(ax+by+cz\)，与 \(d\) 比较知点在平面的哪一侧。
把参数方程代入平面方程，解出 \(t\)。
\(\langle a\theta-a\sin\theta,\;a-a\cos\theta\rangle\)，分解 \(\overrightarrow{OP}\) 得到。
泰勒展开给出 \(x\sim\theta^3\)，\(y\sim\theta^2\)，\(y/x\to\infty\) → 竖直切线 cusp。
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