法向量
\(ax+by+cz=d\) 的法向量是 \(\langle a,b,c\rangle\)；用叉积可由平面上两向量求得。
MIT 18.02 · 第 4 课
平面的方程系数就是法向量；三个方程的线性系统就是三张平面的相交，行列式是否为零决定解的情况。
核心事实：形如 \[ax+by+cz=d\] 的方程表示一张平面，系数 \(\langle a,b,c\rangle\) 恰好是平面的一个法向量 (normal vector)。
设 \(\vec{N}=\langle 1,5,10\rangle\)，则平面上的点 \(P=(x,y,z)\) 满足
\[\vec{N}\cdot\overrightarrow{OP}=0 \iff \langle 1,5,10\rangle\cdot\langle x,y,z\rangle = x+5y+10z=0.\]几何意义：平面由所有与 \(\vec{N}\) 垂直的向量 \(\overrightarrow{OP}\) 构成，且必过原点。
设 \(P_0=(2,1,-1)\)，要求平面过 \(P_0\) 且与刚才的平面平行（即法向量相同）。\(P\) 在平面上 \(\iff\) 向量 \(\overrightarrow{P_0P}\) 与 \(\vec{N}\) 垂直：
\[\vec{N}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0 \iff (x-2)+5(y-1)+10(z+1)=0,\]即 \(x+5y+10z=-3\)。方程的系数仍然是法向量的分量。
核心思想：要找平面方程，本质就是找法向量 \(\vec{N}\)。方程的"形状"已经被法向量完全决定，常数项 \(d\) 只是把平面平移到合适的位置。方程乘以非零常数表示同一张平面。
平面上两个不共线向量 \(\vec{v}_1,\vec{v}_2\) 的叉积 \(\vec{N}=\vec{v}_1\times\vec{v}_2\) 必垂直于平面，从而给出法向量。
问题：向量 \(\vec{v}=\langle 1,2,-1\rangle\) 与平面 \(x+y+3z=5\) 的关系是平行、垂直、还是都不是？
解法：平面法向量 \(\vec{N}=\langle 1,1,3\rangle\)。检验 \(\vec{v}\cdot\vec{N}=1+2-3=0\)，说明 \(\vec{v}\perp\vec{N}\)，即 \(\vec{v}\) 与平面平行。
一个 \(3\times3\) 线性系统 \(AX=B\) 的未知数是 \((x,y,z)\)，每个方程都是一张平面。求解就是找三张平面的公共点。
两张平面一般交于一条直线，第三张平面通常再与这条直线交于唯一一点。此时
\[X = A^{-1}B.\]当 \(\det A=0\) 时，\(A\) 不可逆，可能出现：
齐次系统 (homogeneous system)：\(AX=0\)。此时三张平面都过原点，所以 \(X=0\) 是一个显然的零解 (trivial solution)。
\(\det A=0\) 意味着 \(\det(\vec{N}_1,\vec{N}_2,\vec{N}_3)=0\)，即三张平面的法向量 \(\vec{N}_i\) 所张的平行六面体体积为零——也就是说三个法向量共面 (coplanar)。
此时解直线垂直于法向量所在的平面，我们可以用 \(\vec{N}_1\times\vec{N}_2\) 得到解方向的一个向量。
相对于 \(AX=0\)，一般系统把每张平面平移到不过原点的平行位置：
注意：定理" \(A\) 可逆 \(\iff\) \(\det A\neq0\)" 是整个单元的枢纽——它把代数（矩阵求逆）、几何（平面相交）与行列式（体积为零）三者统一在一起。
问题 1：平面 \(x+2y-z=7\) 的一个法向量是？
问题 2：向量 \(\vec{v}=\langle 2,1,3\rangle\) 与平面 \(x-y+z=5\) 的关系是？
问题 3：若 \(3\times3\) 系统 \(AX=B\) 满足 \(\det A=0\)，则？
问题 4：齐次系统 \(AX=0\) 的解的情况是？
\(ax+by+cz=d\) 的法向量是 \(\langle a,b,c\rangle\)；用叉积可由平面上两向量求得。
\(\det A\neq0 \iff\) 三平面交于唯一一点 \(X=A^{-1}B\)。
\(\det A=0 \iff\) 法向量共面，可能无穷多解或无解。
\(AX=0\) 总有零解；\(\det A=0\) 时有非零的无穷多解。
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