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第 9–16 课，从逼近到微分方程
MIT 18.01 · 第 17 课
第二次期中覆盖第 9–16 课：逼近、作图、优化、相关变化率、牛顿法、中值定理、反导数与微分方程。本页面是考前复习指南，梳理范围、核心公式、典型练习题与易错点。正式考卷与解答不在此公开。
| 课 | 主题 | 核心能力 |
|---|---|---|
| 9 | 线性与二次逼近 | \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\)，二次逼近 |
| 10 | 曲线作图 | f′ 升降、f″ 凹凸、极值、拐点、渐近线 |
| 11 | 最大值与最小值 | 闭区间法、应用优化、检验最值 |
| 12 | 相关变化率 | 隐函数对 t 求导、五步法 |
| 13 | 牛顿法 | \(x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)\)、收敛性 |
| 14 | 中值定理与不等式 | MVT 两种形式、罗尔定理、导数→不等式 |
| 15 | 微分与反导数 | \(dy=f'(x)dx\)、不定积分、基本积分公式 |
| 16 | 分离变量法 | \(dy/dx=g(x)h(y)\) 的求解 |
注意：本页面使用 pre-exam（考前练习题）作为代表性题目。正式期中考卷与逐题解答不在此页面发布。
以下题目直接取自考前练习，覆盖全部题型。请先独立尝试，再对照要点核对。
练习 1：对 \(f(x)=3x^5-5x^3+1\)，在一个合适的区间上画出图像，标出所有局部极大、极小点、拐点，并指出零点落在哪个 \([n,n+1]\) 区间内（n 为整数）。
要点：\(f'(x)=15x^2(x^2-1)\)，临界点 \(x=0,\pm1\)；\(f''(x)=30x(2x^2-1)\)，拐点候选 \(x=0,\pm1/\sqrt{2}\)。列表讨论 f′、f″ 的符号，确定升降、凹凸、极值与拐点，再结合 \(x\to\pm\infty\) 的无穷趋势（多项式无渐近线）连成图像。零点可用介值定理定位区间。
练习 2：画出 \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^2}-x\) 的图像，标出极值、拐点、零点与渐近线。
要点：定义域 \(x\neq 0\)。垂直渐近线 \(x=0\)；无水平渐近线（\(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\mp\infty\)），但有无需求？此处 \(\lim f(x)/x=-1\)，故 \(y=-x\) 是斜渐近线。再求 f′、f″ 找极值与拐点。
练习 3：过点 \((1,2)\) 的负斜率直线在第一象限截出一个三角形。斜率 m 为多少时三角形面积最小？证明你得到的是最小值。
要点：写出 x、y 截距（用 m 表示），面积 A(m) 为 m 的函数，定义域 \(m<0\)。求导找临界点，用二阶导数检验或端点比较确认最小值。
练习 4：三腿桌腿底端构成边长为 5、5、6 的等腰三角形，用三条 Y 形钢丝在底部加固。求所需钢丝的最小总长度。
要点：这是经典的费马点（Fermat point）问题。Y 形三臂交点到三个顶点距离之和最小，该点与三顶点连线夹角均为 120°。结合几何与余弦定理列式，再求最小值。
练习 5：200 英尺的树倒下，太阳在正上方。树与水平成 30° 时影子以 50 英尺/秒伸长，求此时角度变化速率。（详见第 12 课例题）
练习 6：顶点角为直角的圆锥容器，注水速率 3 cm³/s，水深 2 cm 时水面上升速率；以及蒸发使水面匀速下降的物理假设。
练习 7：用中值定理证明 \(\ln(1+x)<x\;(x>0)\)；并证明 \(f(x)=x^3+x+c\) 不可能有两个零点。
要点：第 14 课例题的翻版——构造函数用 MVT，或反证法用罗尔定理。
练习 8：求 \(\displaystyle\int e^{-3x}\,dx\)、\(\displaystyle\int\cos^2x\sin x\,dx\)、\(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)。
要点：第一个直接得 \(-\frac13 e^{-3x}+C\)；第二个代换 \(u=\cos x\)；第三个代换 \(u=1-x^2\)。
练习 9：解 \(\displaystyle\frac{dx}{dt}=2t\sqrt{1-x^2},\;x(0)=1\)。（第 16 课例题，解得 \(x(t)=\cos(t^2)\)）
练习 10：牛顿冷却/加热——鱼从 20° 放入 100° 沸水，5 分钟后升到 30°，何时到 60°？（第 16 课例题，建立 \(T(t)=100-80e^{-kt}\) 后求解）
问题 1：第二次期中考试覆盖哪些课？
问题 2：优化题中求出临界点后，接下来必须做什么？
问题 3：相关变化率问题最容易犯的操作错误是什么？
问题 4：中值定理（MVT）的结论是哪一个？
第 9–16 课，从逼近到微分方程
f′ 升降 + f″ 凹凸 + 渐近线
闭区间法 + 必须证明最值
先求导，后代入
联系导数与函数值，证不等式
分离→积分→定常数