考试范围
Lecture 1–7 全部求导内容
MIT 18.01 · 第 8 课
第一次期中考试覆盖 Lecture 1–7 全部内容，重点考察：用定义求导、全部求导法则的灵活运用、隐函数与反函数求导、涉及导数的极限计算，以及可微性与连续性的讨论。本页面是复习指南，借助 prexam 练习题目演示核心技巧。
Exam 1 覆盖课程 Unit 1「导数」的全部内容，即 Lecture 1 至 Lecture 7。根据往年真题与 prexam，试卷大致包含：
考试时不允许使用书籍、笔记或计算器（prexam 题目亦如此要求）。所有公式必须熟记或能现场推导。
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| 定义 | \(f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) |
| 三角极限 | \(\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1,\ \lim_{\theta\to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta}=0\) |
| 加法 / 常数倍 | \((u+v)'=u'+v'\),\ \((cu)'=cu'\) |
| 乘积 / 商 | \((uv)'=u'v+uv'\),\ \(\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| 链式 | \(\displaystyle\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)\) |
| 幂 | \(\displaystyle\frac{d}{dx}x^r=r x^{r-1}\)（对所有实数 \(r\)） |
| 三角 | \(\sin'=\cos,\ \cos'=-\sin,\ \tan'=\sec^2,\ \sec'=\tan\sec\) |
| 指数 / 对数 | \((e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=1/x,\ (a^x)'=\ln(a)\,a^x\) |
| 反三角 | \(\displaystyle(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\) |
以下题目来自公开练习题 prexam1a 与 prexam1b，覆盖考试最常出现的题型。
题（prexam1b 3）：从导数定义推导 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{x^2}\)。
差商：
\[\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{(x+\Delta x)^2}-\frac{1}{x^2}\right) =\frac{x^2-(x+\Delta x)^2}{\Delta x\,(x+\Delta x)^2 x^2} =\frac{-2x\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x\,(x+\Delta x)^2 x^2}\]消去 \(\Delta x\)：
\[=\frac{-2x-\Delta x}{(x+\Delta x)^2 x^2}\xrightarrow[\Delta x\to 0]{}-\frac{2}{x^3}\]这与幂法则 \(\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}\) 一致。
题（prexam1b 6b）：\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}\)。
这正是 \(e^x\) 在 \(x=0\) 处的导数定义：
\[\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\frac{d}{dx}e^x\Big|_{x=0}=1\]题（prexam1a 3）：\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1-3h)^{-1}-1}{h}\)。
识别为 \(f(x)=1/x\) 在 \(x=1\) 处的导数（令 \(x=1-3h\) 需调整系数）：
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(1-3h)-f(1)}{h}=-3\,f'(1)=-3\cdot(-1)=3\]题（prexam1b 5）：设
\[f(x)=\begin{cases}ax+b,&x>1\\ 2x^2-3x+2,&x\le 1\end{cases}\]求使 \(f\) 可导的常数 \(a,b\)。
第一步：连续。在 \(x=1\) 处左右极限相等：
\[a\cdot 1+b=2\cdot 1^2-3\cdot 1+2=1\quad\Longrightarrow\quad a+b=1\]第二步：可导。左右导数相等：
\[\lim_{x\to 1^+}f'(x)=a,\qquad \lim_{x\to 1^-}f'(x)=(4x-3)\Big|_{x=1}=1\]故 \(a=1\)，代回连续性条件得 \(b=0\)。
题（prexam1a 6）：曲线 \(x^2y+y^3+x^2=8\)，求水平切线所在点。
两边对 \(x\) 求导：
\[2xy+x^2y'+3y^2y'+2x=0\quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{2x(y+1)}{x^2+3y^2}\]水平切线要求 \(y'=0\)，即 \(2x(y+1)=0\)。分别讨论 \(x=0\) 与 \(y=-1\)，代回原方程即可求得所有满足条件的点。
题（prexam1a 4 / prexam1b 4）：推导 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\arcsin x\)。
设 \(y=\arcsin x\)，则 \(\sin y=x\)。两边对 \(x\) 求导：
\[\cos y\cdot y'=1\quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]其中 \(\cos y\) 取正号是因为 \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) 时 \(\cos y\ge 0\)。
题（prexam1a 8）：球形气球体积以 \(-10\ \text{cm}^3/\text{s}\) 的瞬时速率减少，半径 \(r=20\ \text{cm}\) 时，半径减少得多快？
体积 \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)，两边对 \(t\) 求导：
\[\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dr}{dt}=\frac{-10}{4\pi\cdot 20^2}=-\frac{1}{160\pi}\ \text{cm/s}\]问题 1：\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1-3h)^{-1}-1}{h}\) 等于？
问题 2：设 \(f(x)=\begin{cases}ax+b,&x>1\\2x^2-3x+2,&x\le 1\end{cases}\)，使 \(f\) 在 \(x=1\) 可导的 \(a,b\) 为？
问题 3：球体积 \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)，对时间 \(t\) 的导数 \(\frac{dV}{dt}\) 等于？
问题 4：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\arcsin x\) 等于？
Lecture 1–7 全部求导内容
定义求导、法则运用、隐函数、导数极限
先连续（函数值相等）再可导（左右导相等）
识别内层缩放系数，如 \(\frac{f(x+kh)-f(x)}{h}=kf'(x)\)
公式、符号、定义域、代回原方程
prexam1a.pdf、prexam1b.pdf（含完整题目）study_materials_unit1_review.pdf（公式汇总与示例）exam1.pdf / exam1sol.pdf（考后参考）