MIT 18.01 · 第 7 课

续讲与复习

本课前半段续讲双曲函数 (hyperbolic functions) 并补全一般实数指数的幂法则；后半段系统梳理第 1–6 课的所有求导公式，演示「求导一切」的承诺（以 \(e^{x\arctan x}\) 为例），为第一次期中考试做总复习。

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这一课在课程中的位置

这是 Unit 1（导数）的收尾课。双曲函数是三角函数的「孪生兄弟」，在后续微分方程、积分技巧中频繁出现。复习部分把前六课的公式串成一张网，并首次展示如何处理真正复杂的组合函数。下一课即为期中考试。

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双曲函数

定义：

\[\boxed{\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}},\qquad \boxed{\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}\]

求导（直接由 \((e^x)'=e^x\)）：

\[\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\qquad\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x\]

核心恒等式：

\[\boxed{\cosh^2 x-\sinh^2 x=1}\]

证明：直接代入定义展开，交叉项相消即得。

「双曲」之名的由来：令 \(u=\cosh x,\ v=\sinh x\)，则 \(u^2-v^2=1\) 是双曲线方程；对比圆函数 \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) 是单位圆。

一般实数指数的幂法则

第 5 课已对有理数 \(a\) 证明 \(\frac{d}{dx}x^a=a x^{a-1}\)。对任意实数 \(r\)，两种方法均可推广：

方法 1（化为 \(e\)）：\(x^r=e^{r\ln x}\)，链式法则：

\[\frac{d}{dx}x^r=e^{r\ln x}\cdot\frac{r}{x}=x^r\cdot\frac{r}{x}=r x^{r-1}\]

方法 2（对数求导）：设 \(f=x^r\)，\(\ln f=r\ln x\)，则：

\[\frac{f'}{f}=\frac{r}{x}\quad\Longrightarrow\quad f'=x^r\cdot\frac{r}{x}=r x^{r-1}\]

至此，幂法则对所有实数指数成立。

第一次期中考试总复习

一般求导公式

法则	公式
加法	\((u+v)'=u'+v'\)
常数倍	\((cu)'=cu'\)
乘积	\((uv)'=u'v+uv'\)
商	\(\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
链式	\(\displaystyle\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\,u'(x)\)

商法则可改写为 \((uv^{-1})'\) 用乘积与链式法则推出，便于记忆。

具体求导公式（必须掌握）

• \(\displaystyle\frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1}\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x,\quad \frac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}a^x=\ln(a)\,a^x\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\)

其中 \(\sec x\) 的导数可现场推导：\(\frac{d}{dx}\sec x=\frac{d}{dx}\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\tan x\sec x\)。

\(\sin x,\cos x\) 的导数可能在考试中要求从 \(\lim_{h\to 0}\sin h/h=1\) 与 \(\lim_{h\to 0}(\cos h-1)/h=0\) 出发推导。

隐函数求导

例：从 \(y^3+3xy^2=8\) 求 \(y'\)：

\[3y^2y'+6xyy'+3y^2=0\quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{-3y^2}{3y^2+6xy}\]

反函数求导：\(y=\arcsin x\Rightarrow \sin y=x\Rightarrow (\cos y)y'=1\Rightarrow y'=1/\sqrt{1-x^2}\)。

「求导一切」示例

第 1 课承诺过：任何能写出来的函数都能求导。例如：

\[\frac{d}{dx}\,e^{x\arctan x}=e^{x\arctan x}\cdot\frac{d}{dx}(x\arctan x) =e^{x\arctan x}\left(\arctan x+\frac{x}{1+x^2}\right)\]

这里同时用到了链式法则、乘积法则与 \(\arctan\) 的导数——正是前六课所有工具的综合。

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常见误区与边界情况

• 双曲与三角符号混淆：\(\cosh'=\sinh\)（无负号），\(\cos'=-\sin\)（有负号）；恒等式是 \(\cosh^2-\sinh^2=1\) 而非加。
• 幂法则对无理指数的疑虑：通过 \(x^r=e^{r\ln x}\) 或对数求导，幂法则对所有实数 \(r\) 成立。
• 隐函数求导结果含 \(y\)：这是正常的，除非题目要求把 \(y\) 用 \(x\) 表示。
• 期中考试不要死记所有公式：\(\sec x\)、\(\arctan x\) 等都可以现场从基本公式推出，理解推导比记忆更可靠。

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知识检查

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本课要点

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参考资料

• Lecture 7 完整板书：lecture_notes_lec7.pdf
• Unit 1 复习笔记：study_materials_unit1_review.pdf（与板书复习部分相同）
• 参考教材 §4.5（双曲函数）与期中复习章节

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